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五常市雅臣中学校高二第一次月考试卷（数学）
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．已知函数 的导函数是 ,且满足 ,则 等于( )
A.1 B.-1 C.e D.
2．有 2位老师和 3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有( )
A.48种 B.12种 C.36种 D.24种
3．函数 的极值点为( )
A.. B.0 C. D
4．已知函数 在定义域 内可导,其图象如图所示.记 的导函数为
,则不等式 的解集为( )
A.. B.
C D.
5．若函数 是区间 上 单调函数,则实数 m的值一定不
是( )
A. B. C.3 D.4
6．今有 2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这 7个球排成一列的不同方
法有
A.210种 B.162种 C.720种 D.840种
7．如图,一个地区分为 4个区域,现给该地区着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 3种颜
色可供选择,则不同的着色方法共有( )种
A B
C D
A.12 B.18 C.24 D.30
8．已知定义域为 R的函数 的导函数为 ，且满足 ，若 ，
则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）
9．已知函数 ,则下列结论正确的是( )
A. 有两个极值点 B. 的极小值为
C. 在 上单调递减 D.函数 无零点
10．下列说法正确的是( )
A.将 5封信投入 3个邮筒,不同的投法共有 种
B.有三张参观券,要在 5人中确定 3人去参观,不同方法的种数是 60
C.从 6男 4女中选 4人参加比赛,若 4人中必须有男有女,则共有 194种选法
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排,则甲、乙两人不相邻共有 12种排法
11．对于函数 ,下列说法中正确的是( )
A. 存在有极大值也有最大值 B. 有三个零点
C.当 时, 恒成立
D.当 时, 有 3个不相等的实数根
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
12．计算 的值为______.（用数字作答）
13．若直线 与曲线 相切，则 ______.
14．若函数 有两个零点,则实数 a的取值范围是_______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知函数 ， 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求 a，b的值；
（2）当 时，求证： .
16． 本小题 分
用 0,1,2,3,4,5这六个数字,能组成多少个符合下列条件 数字 （运算结果以数字作答）
（1）无重复数字的四位偶数;
（2）无重复数字且为 5的倍数的四位数;
（3）无重复数字且比 1230大的四位数.
17 本小题 分 ．
已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最大值与最小值；
(2)若 在 上单调递增，求实数 a的取值范围.
18. 本小题 分 ．
已知函数 .
(1)若 在 处取得极值,求 的单调区间；
(2)若 在 上的最小值为 ,求 a的取值范围.
19. 本小题 分
已知函数 f(x)＝ex－ax，a∈R.
(1)求 f(x)的极值；
(2)令 F(x)＝f(x)＋ax＋sin x－bx－1，当 1≤b＜2时，讨论 F(x)零点的个数.参考答案
单选 1．D2．A3．D4．C5．B.6．A7．B8．A
多选 9答案：BD10．答案：ACD11．答案：CD
三填空 12．答案： 13．答案：114．答案：
四解答题 15答案：（1） （2）证明见解析
解析：（1） ， .由已知得 解得
（2）证明：设 ，则 ，令 得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 ，所以 .
16答案：（1）156个（2）108个（3）284个
解析：（1）符合要求的四位偶数可分为两类.
第一类,0在个位时有 个;
第二类,2或 4在个位时,首位从 1,3,4（或 2）,5中选（有 种情况）,十位和百位从余下的数字
中选（有 种情况）,于是有 个.
由分类加法计数原理知,共有四位偶数 （个）.
（2）符合要求的数可分为两类:第一类:0在个位时有 个;
第二类:5在个位时有 个.故满足条件的四位数共有 （个）.
（3）符合要求的比 1230大的四位数可分为四类:
第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有 个;
第二类:形如 13□□,14□□,15□□,共有 个;第三类:形如 124□,125□,共有 个;
第四类:形如 123□,共有 个.由分类加法计数原理知,
无重复数字且比 1230大的四位数共有 （个）.
17答案：(1)最大值为 17，最小值为 1；(2)
解析：（1） 时， ， ，
，
在区间 上，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，其中 ， ， ，
所以 在 上的最大值为 17，最小值为 1；
（2） ， 在 上单调递增，
故 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
其中 ，当且仅当 ，即 时，等号成立
故 ，从而实数 a的取值范围为 .
18．答案：(1)极大值为 ,极小值为 (2)
解析：(1) , , .
因为 在 处取得极值,所以 ,则 .
所以 , ,
令 得 或 1,列表得
x 1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的极大值为 ,极小值为 .
(2) .
①当 时, , 在 上单调递增, 的最小值 ,满足题意；
②当 时,令 ,则 或 , 在 上单调递减,在 上单调递增,
此时, 的最小值为 ,不满足题意；
③当 时, 在 上单调递减, 的最小值为 ,不满足题意.
综上可知,实数 a的取值范围时 .
19.解 (1)f(x)的定义域为 R，且 f′(x)＝ex－a.
①当 a≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在 R上单调递增，无极值.
②当 a＞0时，令 f′(x)＞0，得 x＞ln a；令 f′(x)＜0，得 x＜ln a，所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调
递减；在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)在 x＝ln a处取极小值 f(ln a)＝a(1－ln a)，无极大值.
综上所知，当 a≤0时，f(x)无极值；当 a＞0时，f(x)有极小值 a(1－ln a)，无极大值.
(2)因为 F(x)＝ex＋sin x－bx－1(x∈R)，所以 F′(x)＝ex＋cos x－b，
令 g(x)＝F′(x)＝ex＋cos x－b，则 g′(x)＝ex－sin x.
①当 x≤－π时，由 1≤b＜2，得－bx≥bπ≥π，所以 F(x)≥ex＋sin x＋π－1＞π－1－1＞0，
故 F(x)在(－∞，－π]上无零点.
②当 x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝ex－sin x≥1－sin x≥0，F′(x)在[0，＋∞)上单调递增；
F′(x)≥F′(0)＝2－b＞0，F(x)在[0，＋∞)上单调递增，F(x)≥F(0)＝0，
所以 F(x)在[0，＋∞)上有唯一零点 x＝0.
③当 x∈(－π，0)时，sin x＜0，g′(x)＝ex－sin x＞0，
所以 F′(x)在(－π，0)上单调递增，F′(0)＝2－b＞0，F′(－π)＝e－π－b－1＜0，
所以存在 t∈(－π，0)，使 F′(t)＝0，当 x∈(－π，t)时，F(x)单调递减；
当 x∈(t，0)时，F(x)单调递增，又因为 F(－π)＝e－π＋bπ－1＞0，F(t)＜F(0)＝0，
所以 F(x)在(－π，t)上有唯一零点，在(t，0)上无零点，
即 F(x)在(－π，0)上有 1个零点.
综上，当 1≤b＜2时，函数 F(x)有 2个零点

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