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25-26学年度上学期期末检测九年级数学试卷
一、选择题（每题3分，30分）
1.中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家. 如果水位下降2 m记作-2 m，那么水位上升3 m记作（ ）　
A.-3m B.+3m
C.-5m D.+5m
2.2022年11月5日，“国风潮起——第三届晋祠国风文化节”在晋祠博物馆拉开帷幕．如图是小琥制作的正方体活动物料的展开图，则该正方体可能为（ ）　
3.2023年3月1日，中国海油宣布，在渤海南部发现国内最大的变质岩潜山油田——渤中26－6亿吨级油田，探明地质储量超130000000吨油当量．小华将130000000用科学记数法表示为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数)，他表示的结果为13×107.则下列判断正确的是（ ）　
A. 小华只将a写错了 B. 小华只将n写错了
C. 小华将a，n都写错了 D. 小华将a，n都写对了
4.如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（　　）
A．125° B．135° C．65° D．55°
5.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad－bc，则方程 ＝－2的根的情况为(　　)
A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根
C.没有实数根 D.有两个相等的实数根
6.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点.如图，过整点 ， ， 有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点 ，则这条直线可以经过（ ）　
A.点 B.点
C.点 D.点
7.计算 ＋ 的结果为(　　)
A. B.
C. D.
8.为培养学生爱国主义情怀，某校决定从“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”三处红色基地中随机选取两处组织学生开展研学活动，则恰好选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
9.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，M为AB的中点，连接OM.若AC＝6，BD＝8，则OM的长为( )
A.4 B.3
C. D. 　　　
10.研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于40mg/L；若运动后降至50mg/L以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度LAC（mg/L）随时间t（min）变化的图象．下列叙述正确的是（ ）
A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同
B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为350 mg/L
C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳
D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳
二、填空题（每题3分，15分）
11.写出一个使代数式 有意义的x的值 ．
12.某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为: 7, 8, 5, 8, 9, 10, 6.这组数据的中位数是 .
13.按规律排列的一组数：3， ， ，12， ，则这组数的第9个数是 ．
14.关于扇形面积的计算方法，早在我国古代的数学著作《九章算术》中就有研究，对于扇形其卷一《方田》中记载：“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”．如图是学习扇形的面积时遇到的一个数学题，已知等边三角形ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则计算图中由三条弧所围成的几何图形的面积是______．
15.定义：如果一条线段的长度是另一条线段长度的 倍，就称这条线段是另一条线段的“ 线段”，例如若 则就称MN是PQ的“ 线段”．已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°且AB＝2BC＝4，点D为边AB上的动点，连接CD，将△ACD沿直线CD翻折，得到对应的△A'CD，连接A′B，A′A，当A′B是BC的“ 线段”时 ______．
三、解答题（8题，75分）
16.（10分）
(1)计算:| -3|+2sin 30°-(π-2025)0+( )-1.
(2)先化简，再求值：( +1)÷ ,其中x=-4.
17.（9分）某校所在城市中学段跳远成绩达到596cm就很可能夺冠，该市跳远记录为609cm．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩(单位：cm)，并进行整理、描述和分析．
a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：
平均数 中位数 方差 达到596cm的次数 达到610cm的次数
甲运动员成绩 601.6 600.5 65.84 9 3
乙运动员成绩 599.3 595.5 284.21 5 4
根据以上信息，回答下列问题：
(1)分析这两名运动员的成绩各有什么特点？
(2)你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．
18.（9分）如图， ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数 的图象过格点A，B．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′．
（1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象(x＜0)；
（2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交 的图象于点E，连接DO，EO， ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出 ODE的面积；若变化，请说明理由．
19.（9分）如图，在△ABC中，∠B＝60°.
(1)请用尺规作图法，在BC边上找一点D，使AD＝BD；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AB＝4，BD＝2CD，求 的值．
20.（9分）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元．
(1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元；
(2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润．
21.（9分）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5m．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m．
问题解决
任务1：分析测量原理
利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2：完善测量数据
在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆CD的高度．
任务3：推理计算高度
利用素材3求出旗杆CD的高度．
22.（10分）如果抛物线与x轴的其中一个交点到坐标原点的距离等于抛物线与y轴的交点到原点的距离，那么我们称这条抛物线为“等距抛物线”，特别地，如果抛物线与x轴没有交点，则该抛物线不是“等距抛物线”．已知二次函数y＝x2＋bx＋5(b＞0)的图象是“等距抛物线”．
(1)求抛物线的函数表达式及其与x轴的交点坐标；
(2)设一次函数y＝mx＋m(m≠0)的图象与等距抛物线y＝x2＋bx＋5的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜－4＜x2，写出一个符合条件的一次函数表达式，并说明理由；
(3)将等距抛物线y＝x2＋bx＋5在x轴下方的图象沿x轴翻折，与剩余图象构成曲线C，已知曲线C与直线y＝m所围成的封闭图形(不包含边界)内有10个“整点”(横、纵坐标都是整数的点称为“整点”)，请直接写出m的取值范围．
23.（10分）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形ABCD中，点P在射线AD上，将正方形纸片ABCD沿BP所在直线折叠，使点A落在点E处，连接CE，直线CE交BP所在直线于点F，连接AF．
【观察猜想】
（1）如图①，当∠ABP＝22.5°时，∠AFB＝ °．
【类比探究】
（2）如图②，正方形ABCD的边长为4，∠ABP＝α(0°＜α＜90°)，连接AC，取AC的中点O，连接OF，求∠AFB的度数及线段OF的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当△AFC被线段OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段AP的长度．
答案
一、选择题
1.B
2.B
3.C
【详解】∵130000000＝1.3×108，∴小华将a，n都写错了，故选C.
4.A
【详解】∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠AOC＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∴∠BOE＝∠EOD+∠DOB＝125°.
5.A　
【详解】∵ ＝－2，∴－x2－6x＝－2，即x2＋6x－2＝0，∵62－4×1×(－2)＝44>0，∴该方程有两个不相等的实数根．
6.C
【详解】如图，取点E(2，0)，连接EA，EB，EC，由勾股定理得EA＝EB＝EC ，∴点E是过整点A，B，C的圆弧所在圆的圆心，EB是该圆的半径，取点F(1，3)，连接EF，作直线BF，∵BE2＝BF2＝12＋22＝5，EF2＝12＋32＝10，∴BE2＋BF2＝EF2，∴△BEF是直角三角形，∠EBF＝90°，∴BF⊥EB，
∴直线BF与这条圆弧相切于点B，且经过点(1，3)．
7.D　
【详解】原式＝ ＋ ＝ .
8.B　
【详解】记“新县大别山革命老区”“焦裕禄纪念园”“红旗渠风景区”分别为A,B,C，根据题意，列表如下.
A B C
A — (A,B) (A,C)
B (B,A) — (B,C)
C (C,A) (C,B) —
由表，可知共有6种等可能的结果，选中“新县大别山革命老区”和“焦裕禄纪念园”的结果有2种，∴P= ，故选B.
9.C
10.D
【详解】根据函数图象的特征逐项分析判断如下：A.当t＝40min时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误；B.剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为180mg/L左右，故叙述错误；C.剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误；D.剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确．
二、填空题
11.3（答案不唯一）
【详解】由题可知，x－2＞0，解得x＞2，∴满足条件的x的值可以是3（答案不唯一）．
12.8
【详解】7名男生引体向上的成绩按从小到大的顺序排列为5，6，7，8，8，9，10，位于最中间的数为第4位8，则中位数是8.
13.33
14. π
【详解】如答案图，过A作AD⊥BC于D，∵正△ABC的边长是3，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝ ，∴AD ，∴△ABC的面积 BC AD 3 ，∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是3（S扇形ABC﹣S△ABC）+S△ABC＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝3 2 π ．
答案图
15. 或
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，可设BC＝a(a＞0)，则AB＝2a，∴ ∵将△ACD沿直线CD翻折，得到对应的△A′CD，∴ AD＝A′D，∠DAC＝∠DA′C，∵A′B是BC的“向阳线段”，∴ 分两种情况讨论：①如答案图①，过点A′作A′G⊥CB，交CB延长线于点G，设BG＝x，则CG＝CB＋BG＝a＋x，在Rt△A′BG和Rt△A′CG中，可有A′G2＝A′B2－BG2＝A′C2－CG2，即 解得x＝a，∴BG＝a，∴ CG＝CB＋BG＝2a，在△ABC和△CGA′中， ，∴△ABC≌△CGA′(SAS)，∴∠BAC＝∠GCA′，∵∠BAC＋∠BCA＝180°－∠ABC＝90°，∴∠ACA′＝∠BCA＋∠GCA′＝∠BCA＋∠BAC＝90°，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ；②如答案图②，过点A′作A′H⊥CB，交CB延长线于点H，设BH＝y，则CH＝CB＋BH＝a＋y，在Rt△A′BH和Rt△A′CH中，可有A′H2＝A′B2－BH2＝A′C2－CH2，即 解得y＝a，∴BH＝a，∴ CH＝CB＋BH＝2a，在△ABC和△CHA′中 ∴△ABC≌△CHA′(SAS)，∴∠BAC＝∠HCA′，∵∠DAC＝∠DA′C，∴∠HCA′＝∠DA′C，∴DA′∥CB，∴∠A′DB＝∠ABC＝90°，即A′D⊥AB，∵∠ABC＝90°，∴∠DBH＝180°－∠ABC＝90°，∴∠DBH＝∠A′DB＝∠A′HB＝90°，∴四边形A′DBH为矩形，∴A′D＝BH＝a，∴AD＝A′D＝a，∴在Rt△ADA′中， ＝ ＝ ∴ ．综上所述 或 ．
三、解答题
16.解：(1)原式=3- +2× -1+3
=3- +1-1+3
=6- ；
(2)原式=( + )÷
= ·
= ，
当x=-4时，原式= .
17.解：(1)根据甲的平均数高于乙的平均数，
甲的方差小于乙的方差，
∴甲平均成绩高且比乙的成绩稳定；
(2)∵甲10次成绩中有9次成绩达到596cm，而乙10次成绩中只有5次达到596cm，而且甲的成绩稳定，
∴应该选择甲参加比赛(答案不唯一，合理即可)．
18.解：（1）如答案图①，C(4，4)，
∵将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′，
∴C′(－1，3)，
设过点C′的反比例函数详解式为 （k≠0），
∴ ，
∴k＝－3，
∴过点C′的反比例函数详解式为 ，其x＜0时的图象如答案图①所示；
答案图①
（2） ODE的面积不会发生变化；
理由：如答案图②，设DE交y轴于点F，
∵DE⊥y轴，点D在反比例函数详解式为 的图象上，点E在反比例函数 的图象上，
∴S△ODF ，S△OEF ，
∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF 3，
∴△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3．
答案图②
19.解：(1)作图如解图，点D即为所求；
【作法提示】分别以点A、B为圆心，以大于 AB长为半径，在AB两侧作弧，连接两弧的交点并延长交BC于点D，点D即为所求．
解图
(2)如解图，过点A作AE⊥BD于点E，
由(1)可知AD＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝4，
∴DE＝ BD＝2.
∵BD＝2CD，∴CD＝2，
∴CE＝4，
∵AE＝AB·sinB＝2 ，
∴AC＝ ＝2 ，
∴ ＝ ＝
20.解：(1)设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元， 根据题意，
得 ，解得 ，
答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元；
(2)设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼(200－m)盒．
根据题意得，w＝15m＋30(200－m)＝﹣15m＋6000，
∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，
∴200－m≤3m，解得m≥50，
∵﹣15＜0，
∴当m＝50时，w最大，最大值为﹣15×50＋6000＝5250，
则200－m＝150，
答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元．
21.任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，
∴∠ABM＝∠CDN＝90°，
∵AM∥CN，
∴∠AMB＝∠CND，
∴△ABM∽△CDN；
任务2：解：还需要测出DE的长，令DE＝a，
∵BG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE＝∠CDE＝90°，
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△BEG∽△DEC，
∴ ，即 ，
∴ ；
任务3：解：如答案图，过点G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，
∴GN＝BD＝3.5+14＝17.5(m)，DN＝MQ＝BG＝1.6m，GM＝BQ＝3.5m，
∴PM＝PQ－MQ＝3－1.6＝1.4(m)，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMG＝∠CNG，
∵∠PGM＝∠CGN，
∴△PGM∽△CGN，
∴ ，即 ，
解得CN＝7m，
∴CD＝CN+DN＝7+1.6＝8.6(m)．
答案图
22.解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋5的图象是“等距抛物线”，且当x＝0时，y＝5，
∴当y＝0时，x＝5或x＝－5，
∴52＋5b＋5＝0或(－5)2－5b＋5＝0，
解得b＝－6(舍去)或b＝6，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋6x＋5，与x轴的交点坐标为(－5，0)，(－1，0)；
(2)一次函数的表达式可以为y＝－x－1(答案不唯一)．理由如下：
由(1)可知y＝x2＋6x＋5.
∵y＝mx＋m＝m(x＋1)(m≠0)，
∴一次函数的图象过定点(－1，0)．
∵抛物线y＝x2＋6x＋5过点(－1，0)，
∴x2＝－1.
∵x1＜－4，
∴将x＝－4代入y＝x2＋6x＋5，得y＝－3，
要使x1＜－4＜x2，则需点(－4，－3)在一次函数y＝mx＋m的图象的下方，即 ，
解得m＜1且m≠0，则m＝－1时符合条件，
∴一次函数的表达式为y＝－x－1符合条件；
(3)4＜m≤5.
【解法提示】由(1)知，等距抛物线的表达式为y＝x2＋6x＋5，将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C如答案图所示，当m＝4时，曲线C与直线y＝m所围成的封闭图形(不包含边界)内有6个整点；当m＝5时，曲线C与直线y＝m所围成的封闭图形(不包含边界)内有10个整点，∴m的取值范围为4答案图
23.解：（1）45
【解法提示】在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ABP＝22.5°，由折叠性质可知∠EBP＝∠ABP＝22.5°，且AB＝BE．∴∠ABE＝2×22.5°＝45°，∴∠EBC＝90°－45°＝45°，∵AB＝BC，∴BE＝BC．∴ ，∴∠BEF＝180°－67.5°＝112.5°，∴∠BFE＝180°－∠EBP－BEF＝45°，∵AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF．∴∠AFB＝∠EFB＝45°.
（2）由折叠可知∠EBF＝∠ABF＝α，AB＝EB，
∴∠EBC＝90°－2α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC．
又∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
∴ ，
又∵∠BEC＝∠BFC＋∠EBF＝∠BFC＋α，
∴∠BFC＝45°，
由折叠的性质可得∠AFB＝∠BFC＝45°，
∴∠AFC＝∠AFB＋∠BFC＝90°，
∵点O为AC的中点，
∴ ，
在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ ，
∴ ；
（3）线段AP的长度为 或 .
【解法提示】情况一：当△AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如答案图①，∴∠OAF＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAF＝ ∠BAD＝45°，∴∠BAF＝∠BAC＋∠OAF＝105°，由（2）得∠AFB＝45°，∴∠ABP＝180°－∠BAF－∠AFB＝30°，已知AB＝4，在Rt△ABP中， ，解得 ；情况二：当△FOC是等边三角形，△AOF是等腰三角形时，如答案图②，∴∠COF＝60°，∴∠AOF＝120°，∴∠OAF＝∠OFA＝ ＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝ ∠BAD＝45°，∴∠BAF＝∠BAC＋∠OAF＝75°，由（2）可知，∠AFB＝45°，∴∠ABP＝180°－∠BAF－∠AFB＝60°，已知AB＝4，在Rt△ABP中， ，解得 ；综上所述，线段AP的长度为 或 ．

答案图① 答案图②
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

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