资源简介

2025-2026学年度九年级第一学期学情调研数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1.负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作(　　)
A．3 B．－3
C．|3| D．
2.把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是(　　)

A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱
3.2021年河南省前三季度地区生产总值约为44016亿元，排名中部省份第一．将数据“44016亿”用科学记数法表示为(　　)
A. 4.4016×1012 B. 4.4016×1013
C. 0.44016×1013 D. 44.016×1011
4.如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( )
A.100° B.110°
C.120° D.130°
5.若ab＜0，则方程ax2＋2x＋b＝0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
6.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点.如图，过整点 ， ， 有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点 ，则这条直线可以经过（ ）　
A.点 B.点
C.点 D.点
7.化简 1 a的结果是（ ）
A.1 a B.a 1
C. D.
8.在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正面图案不同外，其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ）
A． B．
C． D．
9.如图所示，边长为4的菱形ABCD中∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，P为AB中点，Q为OD中点，连接PQ，则PQ的长为(　　)
A. 2 B. 3
C. D.
10.如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数F(N)与该重物浸入水面深度h(m)的图象.下列结论中错误的是 (　　)
小贴士：
当h=0时，F=G；
当h>0时，F=G-F浮
(G为物体所受到的重力)
A.该重物的重力为20N
B.点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中
C.该重物的高度为5cm
D.从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变
二、填空题（每题3分，共15分）
11.请写出一个整数x，使 有意义，则x的值可以是 ．
12.在学校演讲比赛中，共有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 (填“平均数”“中位数”或“众数”)．
13.观察下列式子：42-22=4×3，62-42=4×5，82-62=4×7，…，按上面的规律写出一般结论： （用含n的方程表示，n为正整数）.
14.图①是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中， ，AC⊥AO，OC交 于点D，过点D作DE⊥OB，若CD=OD=2，则图②中阴影部分的面积是______.
15.当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形ABCD是“特征四边形”，AC＜BD，点E是直线BD上一点，且BE＝ BD，连接AE，则tan ∠AED的值为 ．
三、解答题（8题，共75分）
16.（10分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
17.（9分）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度，光照传感器，结合AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲，乙两种草莓各10个样品，对质量(单位：g)，糖度(单位：Brix)进行测评，并对数据进行整理，描述和分析：
甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4
糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4
乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4
糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2
甲，乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数，中位数，方差如下：
平均数 中位数 方差
质量 甲 23.76 23.65 3.0204
乙 19.85 19.3 1.9185
糖度 甲 9.85 9.6 0.5225
乙 11.43 11.25 0.2881
（1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓
（2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．
18.（9分）在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对应点C'的坐标．
19.（9分）如图，在 ABCD中，连接AC，AC⊥CD.
（1）尺规作图：在BC边上找一点E，使AE= AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB=AE，求证：AE⊥ED.
20.（9分）某学校要购买甲，乙两种灭火器，用于预防校园消防安全.若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元.
（1）每支甲种灭火器，乙种灭火器的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲，乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器a支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍.哪种购买方案可使总费用W最少？并求出最少总费用.
21.（9分）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5m．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m．
问题解决
任务1：分析测量原理
利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2：完善测量数据
在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆CD的高度．
任务3：推理计算高度
利用素材3求出旗杆CD的高度．
22.（10分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，且点O到点C距离是点O到点B距离的3倍，点M是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过点M作MN∥x轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤9，求点M的纵坐标yM的取值范围；
（3）若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出P点横坐标xP的取值范围．
23.（10分）综合与实践
问题情境
在矩形纸片ABCD中，点E是边AD上一动点，连接BE，将△BAE 沿BE折叠得到△BFE，并展开铺平．
（1）在图中，过点A作AH⊥BF，垂足为点H，交BE于点G（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
猜想证明
（2）在（1）所作的图形中连接GF，猜想并证明AE与GF之间的关系；
问题解决
（3）已知AB＝4，AD＝6，沿BF所在直线折叠矩形ABCD纸片，折痕交矩形纸片的边于点M．当 FM＝DM 时，请直接写出AE的长．
答案及部分详解
一、选择题
1.B
（详解）买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作－3.
2.A
3.A
（详解）44016亿＝44016×108＝4.4016×1012.
4.C
（详解）如答案图，由量角器的度数可知，∠1＝120°，∴∠2＝∠1＝120°，即所量内角的度数为120°.
答案图
5.A
（详解）∵b2－4ac＝4－4ab，且ab＜0，∴4－4ab＞0，即b2－4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
6.C
（详解）如图，取点E(2，0)，连接EA，EB，EC，由勾股定理得EA＝EB＝EC ，∴点E是过整点A，B，C的圆弧所在圆的圆心，EB是该圆的半径，取点F(1，3)，连接EF，作直线BF，∵BE2＝BF2＝12＋22＝5，EF2＝12＋32＝10，∴BE2＋BF2＝EF2，∴△BEF是直角三角形，∠EBF＝90°，∴BF⊥EB，
∴直线BF与这条圆弧相切于点B，且经过点(1，3)．
7.C
（详解） 1 a .
8.C
（详解）将这四张卡片分别记为A，B，C，D，列表如下：
② ① A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的结果有2种，∴所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率为 ．
9.C
（详解）
如答案图，过点P作PM⊥OB，垂足为M.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝AC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝ AB＝2，OB＝ AO＝2 ，MO＝ OB＝ ＝OQ，∴MQ＝OM＋OQ＝2OM＝2 ，∵P为AB中点，∴PM＝ AO＝1，∴PQ＝ ＝ ) = .
答案图
10.D
（详解）当h=0时，F=G=20N，∴该重物的重力为20N，故选项A正确；由图②可知在点P处时该重物完全浸入水中，故选项B正确；在点P处时该重物完全浸入水中，此时h=0.05m=5cm，故选项C正确；从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F随h的增大而减小，故选项D错误.
二、填空题
11.3（答案不唯一）
（详解）要使 有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3，∵x为整数，∴x的值可以是3．
12.中位数
（详解）由题意可得，该学生想要知道自己能否进入前7名，就需要知道第8名的成绩，即这15名学生成绩的中位数．
13.(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1)　
（详解）观察式子42-22=4×3，62-42=4×5，82-62=4×7，…，发现均为偶数的平方，且为连续的2个偶数，∴较小的偶数表示为2n，则与其相邻的较大偶数为2n+2，等式右边为两个数字的乘积，且一个因数为4，另一个因数比较小偶数大1，则表示为2n+1，∴结论为(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1).
14.
（详解）∵AC⊥AO， OD=2，OD=OA，∴ ，∵ ，在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OD=2，∴DE=1，OE= S阴影=S△CAO－S扇形ODA+S扇形OBD－S△OED= － π － 1 = .
15. 或
（详解）∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，∴α＝2β，∵菱形相邻的两个内角互补，∴α＋β＝180°，∴2β＋β＝180°，∴β＝60°，∴∠ABC＝60°.如答案图，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，设OA＝a，则AB＝2OA＝2a，则OB＝ OA＝ a，分两种情况讨论：①如答案图①，当点E在线段BD上时，∵BE＝ BD，∴BE＝OE＝ OB＝ a，在Rt△AOE中，tan ∠AED＝ ＝ ＝ ；②如答案图②，当点E在DB的延长线上时，BE＝ BD＝ OB＝ a，∴OE＝BE＋OB＝ a＋ a＝ a，在Rt△AOE中，tan ∠AED＝ ＝ ＝ ；综上所述，tan ∠AED的值为 或 .
解图
三、解答题
16.解：（1）原式 ＝3+9﹣5
＝7；
（2）原式


＝a﹣4．
17.解：（1）选择甲种草莓，因为甲种草莓质量的平均数和中位数均比乙种草莓高；
（2）甲种草莓需要提高糖度，并提高产量的稳定性，乙种草莓需要提高产量．
18.解：(1)如答案图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠DCB＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠DCB，
在△ACO与△CBD中，
，
∴△ACO≌△CBD(AAS)，
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A(0，2)，C(1，0)，
∴OC＝BD＝1，OA＝CD＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴B(3，1)，
∴设反比例函数的解析式为y (k≠0)，
将B(3，1)代入y ，
∴k＝3，
∴反比例函数的关系式为y ；
答案图
(2)把y＝2代入y ，得2 ，
解得x ，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了 个单位长度，
∴C也移动了 个单位长度，
∵C(1，0)，
∴点C的对应点C′的坐标为( ，0)．
19.（1）解：【解法一】如答案图①，点E即为所求作（作法不唯一，合理即可）；
【解法二】如答案图②，点E即为所求作.
【解法三】如答案图③，点E即为所求作.
（2）证明：【解法一】如答案图④，
∵在Rt△ABC中，E是BC的中点，
∴AE=BE=CE= BC，
∵AB=AE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠B=∠AEB=60°，CD=CE，∠ECD=120°，
∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AED=180°－∠AEB－∠CED=90°，即AE⊥ED.
【解法二】如答案图④，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠BAC=∠ACD=90°，∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴∠AED=∠BAC=90°，即AE⊥ED.
答案图④
20.解：（1）设每支甲种灭火器的价格为x元，每支乙种灭火器的价格为y元，
由题意可得 ，
解得 ，
答：每支甲种灭火器价格为45元，每支乙种灭火器的价格为35元;
（2）由题意可得，W＝45a＋35(30－a)＝10a＋1050，
∵k＝10＞0
∴W随a的增大而增大，
∵甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍，
∴ ，
解得17.5≤a≤20，
∵a为正整数，
∴a可取18，19，20，
∴当a＝18时，W取得最小值，此时W＝10×18＋1050＝1230(元)，
此时30－a＝12(支)，
答：购买甲种灭火器18支，乙种灭火器12支时，可使总费用W最少，最少总费用是1230元.
21.任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，
∴∠ABM＝∠CDN＝90°，
∵AM∥CN，
∴∠AMB＝∠CND，
∴△ABM∽△CDN；
任务2：解：还需要测出DE的长，令DE＝a，
∵BG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE＝∠CDE＝90°，
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△BEG∽△DEC，
∴ ，即 ，
∴ ；
任务3：解：如答案图，过点G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，
∴GN＝BD＝3.5+14＝17.5(m)，DN＝MQ＝BG＝1.6m，GM＝BQ＝3.5m，
∴PM＝PQ－MQ＝3－1.6＝1.4(m)，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMG＝∠CNG，
∵∠PGM＝∠CGN，
∴△PGM∽△CGN，
∴ ，即 ，
解得CN＝7m，
∴CD＝CN+DN＝7+1.6＝8.6(m)．
答案图
22.解：（1）∵C(0，3)，
∴OC＝3．
又∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B(1，0)，
∵B(1，0)，C(0，3)为抛物线y＝－x2＋bx＋c上的点，
∴将B(1，0)，C(0，3)代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，8≤MN≤9，
∴点N的横坐标的取值范围为 ≤ ≤ ，即3≤ ≤ ，
当3≤ ≤ 时，y随x的增大而减小，
当 时， ，
当x＝3时，y＝－32－2×3＋3＝－12，
∴点N的纵坐标yN的取值范围为 ≤ ≤ ，
∵yM＝yN，
∴点M的纵坐标yM的取值范围为 ≤ ≤ ；
（3） ≤ ≤ 或0≤ ≤ ．
【解法提示】∵点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，∴将y＝3代入y＝－x2－2x＋3，得3＝－x2－2x＋3，解得x1＝0，x2＝－2，将y＝－3代入y＝－x2－2x＋3，得－3＝－x2－2x＋3，解得 ，∴P点横坐标xP的取值范围是 ≤ ≤ 或0≤ ≤ ．
23.实践操作
解：（1）如解图①即为所求；
（2）AE＝GF，AE∥GF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠性质可知，∠BFE＝∠BAD＝90°，
∵AH⊥BF，EF⊥BF，∴AH∥EF，
∴∠BEF＝∠AGE，
由折叠性质可知，∠AEG＝∠FEG，
∴∠AEG＝∠AGE，∴AG＝AE，
∴AG＝GF＝AE＝EF，
∴四边形AGFE为菱形，
∴AE＝GF，AE∥GF；
（3）AE的长为3或
【解法提示】如解图②，当点M在CD上时，连接EM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°，由折叠性质可知，∠BFE＝∠BAD＝90°，∴∠EFM＝∠D＝90°，∵EM＝EM，FM＝DM，∴Rt△EFM≌Rt△EDM（HL），∴EF＝ED，∵EF＝AE，∴AE＝ED AD＝3；如解图③，当点M在AD上时，过点M作MN⊥BC于点N，得矩形DCNM，ABNM，∴MN＝CD＝4，DM＝CN，由折叠性质可知，BF＝AB＝4，∵FM＝DM，∴BN＝BC﹣NC＝6﹣DM，BM＝BF+FM＝4+DM，在Rt△BMN中，根据勾股定理得BM 2＝BN 2+MN 2，∴（4+DM）2＝（6﹣DM）2+42，∴DM ，∴FM＝DM ，∴EM＝AD﹣AE﹣DM＝6﹣AE AE，由折叠性质可知，AE＝EF，∠EFM＝90°，∴EM 2＝EF 2+FM 2，∴（ AE）2＝AE2+（ ）2，∴AE ，综上所述，AE的长为3或 ．
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

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