资源简介

九年级第一学期期末调研数学试题
一、选择题（每题3分，30分）
1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家. 若零上10℃记作＋10℃，则零下10℃可记作(　　)
A.10℃ B.0℃ C.－10℃ D.－20℃
2.如图为一个三棱柱的展开图，将其折叠成三棱柱后，与A重合的两个点为(　　)
A.I，H B.G，E C.E，I D.E，H
3.2024年一季度我国国民经济实现良好开局，一季度国内生产总值296299亿元，按不变价格计算，同比增长5.3%，比上年四季度环比增长1.6%．其中296299亿用科学记数法表示为（　　）
A．2.96299×1012 B．2.96299×1013
C．29.6299×1012 D．2.96299×1014
4.如图1，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数为50°，你认为小明测量的依据是(　　)
A. 垂线段最短 B. 对顶角相等
C. 圆的定义 D. 三角形内角和等于180°
5.定义运算：a♀b＝2ab，a♂b＝b(a＋b).例如：3♀2＝2×3×2＝12，3♂2＝2×(3＋2)＝10，若方程3♂x＝2♀m有两个不相等的实数根，则m的值可能是(　　)
A. －2 B. －
C. －1 D. 1
6.如图，长方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
7.分式 化简后的结果为（ ）
A. -1
B. 1
C.
D. 0
8.有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一个汉字，分别为“翼、装、飞、行”四个字，将四张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，则两张卡片上的汉字恰为“翼”，“装”二字的概率是(　　)
A. B.
C. D.
9.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠ADE＝15°，则DE的长为(　　)
A. B.
C.3 D.
10.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图①所示，其中定值电阻R1＝10 Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01 m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图②所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6 V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图③所示（参考公式 （其中R2＝R﹣R1），F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（　　）
A．当水箱未装水（h＝0 m）时，压强p为0 kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40 N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8 m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12 Ω
二、填空题（每题3分，15分）
11.二次根式 在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值 ．
12.2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/h 12 13 14 15 16
人数 12 20 10 5 3
则这些学生的综合体育活动时间的众数是______h.
13.我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．（x﹣2）4的展开式中x的一次项系数是 ．
14.关于扇形面积的计算方法，早在我国古代的数学著作《九章算术》中就有研究，对于扇形其卷一《方田》中记载：“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”．如图是学习扇形的面积时遇到的一个数学题，已知等边三角形ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则计算图中由三条弧所围成的几何图形的面积是______．
15.定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“单邻等对补四边形”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别在BC，AB上取点M，N，如果四边形ACMN为“单邻等对补四边形”，那么MN的长为______．
三、解答题（8题，75分）
16.（10分）
(1)计算： －|－2|＋3－2；
(2)先化简，再求值： ÷(a－ )，其中a＝ .
17.（9分）在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人(甲型和乙型)，给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物．以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间(单位：秒)：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，32，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人．
（2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分(满分10分，得分越高则表现越好)
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．(要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格)
18.（9分）如图， ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数 的图象过格点A，B．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′．
（1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象(x＜0)；
（2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交 的图象于点E，连接DO，EO， ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出 ODE的面积；若变化，请说明理由．
19.（9分）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=AC.
（1）在图中以CA的延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
20.（9分）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片
21.（9分）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5m．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m．
问题解决
任务1：分析测量原理
利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2：完善测量数据
在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆CD的高度．
任务3：推理计算高度
利用素材3求出旗杆CD的高度．
22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标yM的取值范围；
(3)若M(3n－4，y1)，N(5n＋6，y2)分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
23.（10分）综合与实践
【回归教材】
通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形A1B1C1O绕点O旋转的过程中，边A1O，C1O分别交正方形ABCD的边AB，BC于点E，F.在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的 .
【提出问题】
(1)①请证明上述结论；
②通过观察，小明发现线段BE，BF，AB之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由；
【拓展迁移】
(2)如图②，在等边△ABC中，G为BC的中点，∠MGN绕点G旋转，且∠MGN+∠A=180°，GM交线段AC于点H，GN交线段AB于点I，请判断此时线段AH，AI，BC的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)如图③，在等腰△ABC中，AB=AC=25，BC=30，G为BC上一点，∠MGN的边MG交AC于点H，边NG交AB于点I，且∠MGN+∠A=180°，连接AG，若AG=10 ，BI=5，求GH的长.
答案
一、选择题
1.C
(详解）∵零上10℃记作+10℃，∴零下10℃记作：-10℃
2.D　
(详解）由展开图可知，将该图形合成三棱柱后，与A重合的两个点为E，H.
3.B
(详解）296299亿＝29629900000000有14个位数，根据科学记数法要求表示为2.96299×1013.
4.B　
5.D
(详解）方程3♂x＝2♀m可转化为x(3＋x)＝4m，即x2＋3x－4m＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝32－4×1×(－4m)＝9＋16m＞0，解得m＞－ .
6.B
(详解）如答案图，延长AP到点C，连接BC，由图可得，∠CPB＝∠PAB＋∠PBA，PC ，BC ，PB ，∴BC2＋PC2＝PB2，CP＝CB，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°．
答案图
7.B
(详解） = + = =1．
8.B　
(详解）设“翼、装、飞、行”四个字分别为A，B，C，D，列表如下，由表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的汉字恰为“翼”，“装”二字的结果有2种，∴P（两张卡片上的汉字恰为“翼”，“装”二字）= .
解图
9.C　
(详解）如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AD∥BC，∴∠DAB＝180°－∠ABC＝60°，∴△ADB为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6.∵∠ADE＝15°，∴∠EDB＝45°，∠DBE＝45°，∴∠BED＝90°.∴△DEB是等腰直角三角形．设DE＝x，由勾股定理，得x2＋x2＝62.解得x＝3 (负值已舍去)，∴DE＝3 .
解图
10.B
(详解）A.由图③可知，水箱未装水（h＝0 m）时，压强p为0 kPa，故A正确，不符合题意；B.当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻R 20（Ω），此时压敏电阻的阻值R2＝R﹣R1＝20 Ω﹣10 Ω＝10 Ω，由图②可知此时压敏电阻受到压力为80 N，故B不正确，符合题意；C.当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P 8000（Pa），由图③易得，水箱的深度为h 0.8 m，故C正确，不符合题意；D.水深为1 m时，压敏电阻受到的压强P＝10000 Pa，此时压敏电阻受到的压力F＝PS＝10000×0.01＝100（N），由图②可知此时压敏电阻的阻值为8 Ω，由B选项可知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20 Ω，根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12（Ω），故D正确，不符合题意．
二、填空题
11.5（答案不唯一）
(详解）由题可知，2x－8≥0，解得x≥4，∴满足条件的x的值可以是5（答案不唯一）．
12.
13.-32
(详解）由题知，“杨辉三角”中最边上的数字都是1，且内部的每一个数为其左上和右上的两个数字之和，∴第5行的数依次为1，4，6，4，1，∴（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．当a＝x，b＝﹣2时，（x﹣2）4＝x4﹣8x3+24x2﹣32x+16，∴（x﹣2）5的展开式中x的一次项系数是-32．
14. π
(详解）如答案图，过A作AD⊥BC于D，∵正△ABC的边长是3，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝ ，∴AD ，∴△ABC的面积 BC AD 3 ，∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是3（S扇形ABC﹣S△ABC）+S△ABC＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝3 2 π ．
答案图
15. 或
(详解）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴ .①当AC＝AN时，如答案图①，∴AC＝AN＝3，∴BN＝AB－AN＝2，由“单邻等对补四边形”的定义可得∠C+∠ANM＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ANM＝90°，∴∠BNM＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△MBN，∴ ，即 ，∴ ， ，∴ ，∴MN＝CM，不符合“单邻等对补四边形”的定义，舍去；②当AN＝MN时，如答案图②，∴BN＝ ＝ ＝ ∵△ABC∽△MBN，∴ ，即 ，∴ ；③当AC＝CM时，如答案图③，∴BM＝BC－CM＝ ＝ ＝1，∵△ABC∽△MBN，∴ ，即 ，∴ ，∴综上所述，MN的长为 或 ．
三、解答题
16.解：(1)原式＝3－2＋
＝ ；
(2)原式＝ ÷
＝ ·
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝－ .
17.解：（1）① ，
，
甲型机器人完成搬运任务时间的极差为43－38＝5，乙型机器人完成搬运任务时间的极差为50－32＝18，
∴乙型机器人完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小(稳定性更好)；
（2）我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则 ，
，
∵8.6＜8.8，
∴按照以上标准采购乙型机器人较合适．(答案不唯一)
18.解：（1）如答案图①，C(4，4)，
∵将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′，
∴C′(－1，3)，
设过点C′的反比例函数解析式为 （k≠0），
∴ ，
∴k＝－3，
∴过点C′的反比例函数解析式为 ，其x＜0时的图象如答案图①所示；
答案图①
（2） ODE的面积不会发生变化；
理由：如答案图②，设DE交y轴于点F，
∵DE⊥y轴，点D在反比例函数解析式为 的图象上，点E在反比例函数 的图象上，
∴S△ODF ，S△OEF ，
∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF 3，
∴△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3．
答案图②
19.解：（1）作法一:如图①，⊙O即为所求；
【作法提示】如答案图①，作AB的垂直平分线交CA的延长线于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.
图①
作法二:如图①，⊙O即为所求；
【作法提示】如答如图②，⊙O即为所求；
【作法提示】如图②，以点A为圆心，AB长为半径作弧交CA的延长线于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.
图②
作法三:如图③，⊙O即为所求；
【作法提示】如图③，过点B作BC的垂线交CA延长线于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆.
图③
（2）直线BC与⊙O相切.理由如下：
如图④，连接OB.
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°.
∴∠OAB=60°.
∵⊙O过点A，B，
∴OA=OB.
∴∠OBA=∠OAB=60°.
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=90°，即OB⊥BC.
∵点B在⊙O上，
∴直线BC与⊙O相切.
图④
20.解：(1)根据题意可知，一个甲种纸盒需要4张长方形硬纸片和1张正方形硬纸片，一个乙种纸盒需要3张长方形硬纸片和2张正方形硬纸片，
设200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，
则 ,
解得
答: 200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个；
(2)设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则制作甲种纸盒(100-m)个，
根据题意得,w=2m+(100-m)=m+100,
∵k=1＞0,
∴w随m的增大而增大，
∵乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，
∴m≥ (100-m),
解得m≥ ,
∵m为正整数，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值为34+100=134(张).
答：至少需要134张正方形硬纸片.
21.任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，
∴∠ABM＝∠CDN＝90°，
∵AM∥CN，
∴∠AMB＝∠CND，
∴△ABM∽△CDN；
任务2：解：还需要测出DE的长，令DE＝a，
∵BG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE＝∠CDE＝90°，
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△BEG∽△DEC，
∴ ，即 ，
∴ ；
任务3：解：如答案图，过点G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，
∴GN＝BD＝3.5+14＝17.5(m)，DN＝MQ＝BG＝1.6m，GM＝BQ＝3.5m，
∴PM＝PQ－MQ＝3－1.6＝1.4(m)，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMG＝∠CNG，
∵∠PGM＝∠CGN，
∴△PGM∽△CGN，
∴ ，即 ，
解得CN＝7m，
∴CD＝CN+DN＝7+1.6＝8.6(m)．
答案图
22.解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，
∴y＝－(x－1)2＋4, ∴抛物线顶点的坐标为(1，4)；
(2)∵－4＜x＜4，－1＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线y＝－x2＋2x＋3取得最大值，最大值为4；
当x＝－4时，y＝－21；当x＝4时，y＝－5，
∴点M的纵坐标yM的取值范围是－21＜yM≤4；
(3)0＜n＜ .
当点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得 ，解得－1＜n＜ ，∵y1＞y2，∴1－(3n－4)＜5n＋6－1，解得n＞0，∴0＜n＜ ；当点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得 ，该不等式组无解．综上所述，0＜n＜ .
23.(1)①证明：在正方形ABCD中，∠AOB= ，∠BAO=∠CBO= ，
又∵在正方形 中， ，
∴∠AOE+∠EOB=∠BOF+∠EOB，
∴∠AOE=∠BOF.
∵OA=OB，∴ ，
∴ ，∴ ；
②解：BF+BE=AB，理由如下：
由①可知 ，∴AE=BF，
∴BF+BE=AE+BE=AB；
(2)解：AH+AI= BC，理由如下：
如答案图①，过点G作AB的平行线交AC于点J，
∴∠B+∠BGJ= ，∠CJG=∠A.
∵G为BC中点，∴J为AC中点，BG= BC，
∴GJ= AB，AJ= AC.
在等边△ABC中，∠A=∠B，AB=BC=AC，
∴BG=JG,∠CJG=∠B.
∵∠MGN+∠A= ，
∴∠BGJ=∠MGN，
∴∠BGI=∠JGH，
∴ ，
∴BI=JH，
∴AH+AI=AJ+JH+AI=AJ+BI+AI=AJ+AB= AC+AB= BC；
答案图①
(3)解：如答案图②、答案图③，取BC的中点P，连接AP，
∴在等腰△ABC中，AP⊥BC，BP=CP=15，
∴AP= =20，
∵20＜10 ＜25，
∴AP＜AG＜AB，
∴在BC上存在两个点G满足AG=10 ，
且GP= =10，
∴BG=BP-PG=5或BG=BP+PG=25.
分情况讨论：①当BG=5时，如答案图②，过点G分别作GI1⊥AB于点I1，GH1⊥AC于点H1，
∴∠AI1G=∠AH1G=90°，
∴∠BAC+∠I1GH1=180°，
∵∠MGN+∠BAC=180°，∴∠I1GH1=∠MGN，
∴∠IGI1=∠HGH1，∴△IGI1∽△HGH1，
∴ = = .
在等腰△ABC中，∠B=∠C，
∴△BGI1∽△CGH1，
∴ = = = ，∴ = .
∵S△ABG= BG·AP= AB·GI1，∴GI1=4，
∴BI1= =3，
∵BI=5，
∴II1=BI-BI1=2，
∴GI= =2 ，
∴GH=5GI=10 ；
②当BG=25时，即CG=5，如答案图③，过点G分别作GI2⊥AB于点I2，GH2⊥AC于点H2，
同①可得，GI2=20，△IGI2∽△HGH2，△BGI2∽△CGH2，且 = =5，
∴BI2= =15， =5，
∵BI＝5，
∴II2=BI2-BI=10，
∴GI= =10 ，
∴GH= GI=2 .
综上所述，GH的长为10 或2 .
答案图② 答案图③
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

展开更多......

收起↑