资源简介

2025～2026 学年高二第二学期第一次阶段检测
数学 试卷
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．与向量 共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
2．已知四面体 ， 是 BD 的中点，连接 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3．在正三棱柱 中， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如右图，在长方体 中， 是 的中点， ，
，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若 表示不同的平面，平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，则平面 与平面 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
6．在下列条件中，使 M与 A，B，C一定共面的是（其中 O为坐标原点）（ ）
A． B．
C． D．
7.已知 是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 A，B，C三点共线，O为空间任一点，则① ；②存在三个不为 0的实数 ，m，n，
第1 页（本试卷共 4页）
使 ，那么使①②成立的 与 的值分别为（ ）
A．1， B． ，0 C．0，1 D．-1，0
二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.）
9． 下列四个命题中，说法不正确的是（ ）
A．空间任意两个单位向量必相等
B． 是 共线的充分不必要条件
C．对于非零向量 ，由 ，则
D．若向量 满足 ，则
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11.如右下图，正方体 的棱长为 2，线段 上有两个动点 E，F（E在 F的左边），且
.下列说法正确的是（ ）
A．当 E，F运动时，不存在点 E，F使得
B．当 E，F运动时，不存在点 E，F使得
C．当 E，F运动时，二面角 为定值
D．当 E运动时，二面角 的最大值为 45°
三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12若 ， 在直线 l上，则直线 l的一个方向向量是
13．已知点 ，则点 到直线 的距离是
14．在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为 2，且
，则对角线 长为
四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，共 77 分）
15．（本题 13 分）已知 ， ， ， ， ，求：
(1) ， ， ；
第2 页（本试卷共 4页）
(2) 与 夹角的余弦值.
16．（本题 15 分）如图，在直三棱柱 中，侧面 是正方形， 分别为
棱 的中点，且 ．
(1)求 的值；
(2)用向量法证明：平面 平面 ．
17．（本题 15 分）如图，已知直四棱柱 中， 底面 是直角梯形， 为直角，
.
（1）求线段 的长度；
（2）异面直线 与 所成角的余弦值．
第3 页（本试卷共 4页）
18．（本题 17 分）如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相垂直， ，
(1)求直线 与平面 的夹角；
(2)求点 到平面 的距离.
19．（本题 17 分）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 底
面 ， ，且 ， 分别为 ， 的中点，
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
第4 页（本试卷共 4页）2025～2026 学年高二第二学期第一次阶段检测
数学 试卷参考答案
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．与向量 共线的单位向量可以为（ A ）
A． B． C． D．
2．已知四面体 ， 是 BD 的中点，连接 ，则 ＝（ B ）
A． B． C． D．
3．在正三棱柱 中， ，则 （ A）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如右图，在长方体 中， 是 的中点， ，
，则向量 在向量 上的投影向量为（ D ）
A． B． C． D．
5．若 表示不同的平面，平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，则平面 与平面 （ C ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
6．在下列条件中，使 M与 A，B，C一定共面的是（其中 O为坐标原点）（ C ）
A． B．
C． D．
7.已知 是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ B ）
A． B．
C． D．
8．已知 A，B，C三点共线，O为空间任一点，则① ；②存在三个不为 0的实数 ，m，n，
第1 页（本试卷共 6页）
使 ，那么使①②成立的 与 的值分别为（ D）
A．1， B． ，0 C．0，1 D．-1，0
二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.）
9． 下列四个命题中，说法不正确的是（ ACD ）
A．空间任意两个单位向量必相等
B． 是 共线的充分不必要条件
C．对于非零向量 ，由 ，则
D．若向量 满足 ，则
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ AC ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11.如右下图，正方体 的棱长为 2，线段 上有两个动点 E，F（E在 F的左边），且
.下列说法正确的是（ ABC ）
A．当 E，F运动时，不存在点 E，F使得
B．当 E，F运动时，不存在点 E，F使得
C．当 E，F运动时，二面角 为定值
D．当 E运动时，二面角 的最大值为 45°
三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12若 ， 在直线 l上，则直线 l的一个方向向量是
13．已知点 ，则点 到直线 的距离是
14．在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且
，则对角线 长为
四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第 18、19 题 17 分，共 77 分）
15．（本题 13 分）已知 ， ， ， ， ，求：
(1) ， ， ；
第2 页（本试卷共 6页）
(2) 与 夹角的余弦值.
解:（1） ，则 ，解得 …………………………2分
∴ …………………………4分
又 ，则 即 …………………………6分
∴ …………………………7分
（2）由（1） ， …………………………10 分
设 与 夹角为 ，则 …………………………13 分
16．（本题 15 分）如图，在直三棱柱 中，侧面 是正方形， 分别为
棱 的中点，且 ．
(1)求 的值；
(2)用向量法证明：平面 平面 ．
解:(1）在直三棱柱 中，
又 平面
所以 平面 ，因此 两两垂直
建立如图所示的空间直角坐标系
则 …………………………3分
所以
所以 …………………………7分
（2）由（1）知
设平面 BEA 的法向量为 ，平面 的法向量为
则 ，即 ，令 ，则 …………………………10 分
第3 页（本试卷共 6页）
，即
令 ，则 …………………………13 分
所以 ，所以平面 平面 …………………………15 分
17．（本题 15 分）如图，已知直四棱柱 中， 底面 是直角梯形， 为直角，
.
（1）求线段 的长度；
（2）异面直线 与 所成角的余弦值．
解:（I）以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐
标系．则 …………………………5分
∴
∴ …………………………8分
(或者利用勾股定理求,根据情况酌情给分)
（II）由（I）可知， ， ,|
∴cos ， ＝ …………………………13 分
∴异面直线 与 所成的角的余弦值为 …………………………………15 分
(或者利用定义法找到角 ,再利用余弦定理或者构造直角三角形求出结果,根据情况酌情给分)
18．（本题 17 分）如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相垂直， ，
(1)求直线 与平面 的夹角；
(2)求点 到平面 的距离.
解:（1）设 ，因为菱形 和矩形 所在的平面互相垂直，
所以易得 平面 ，
以 点为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 点且平行
于 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
由已知得 ， …………………………………4分
因为 轴垂直于平面 ，因此可令平面 的一个法向量为
第4 页（本试卷共 6页）
又 ，设直线 与平面 的夹角为
则有 ，由 得
所以直线 与平面 的夹角为 …………………………………10 分
(或者利用定义法找到角 ,根据情况酌情给分)
（2）由（1）空间直角坐标系，得 ， ，所以 ，
可设平面 的法向量为 ，则 ，得
令 ，得 ， ，即 …………………………………14 分
又因为
所以点 到平面 的距离为 …………………………………17 分
(或者利用等积法求距离,根据情况酌情给分)
19．（本题 17 分）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 底
面 ， ，且 ， 分别为 ， 的中点，
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
解:（1）取 中点 ，连接 ，
为 的中点， ，
又 ， ， ，
四边形 为平行四边形
…………………………………4 分
平面 ， 平面 ，
平面 …………………………………7 分
（2）平面 平面 ，平面 平面 平面
平面
取 中点 ，连接 ，则 平面
，又 …………………………10 分
如图以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
第5 页（本试卷共 6页）
…………………………………12 分
，设平面 的一个法向量，
则 ，取 ，则
平面 的一个法向量可取 …………………………………14 分
设平面 与平面 所成锐二面角为
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ……………………………………………………17 分
第6 页（本试卷共 6页）

展开更多......

收起↑