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第1-4章阶段性检测2025-2026学年北师版七年级数学下册（解析版）
全卷共三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分为150分．
第I卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，
只有克左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：B．
经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是随机事件．
故选：C．
3．一块直角三角尺按如图方式放置，其中，A、B两点分别落在直线m、n上，，要使直线，则可添加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据内错角相等，两直线平行解答即可．
【详解】解：要使直线，则即可，
∴．
故选D．
4．如图，，若，，则等于（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．
其中，能判定的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：①∵，∴，故①符合题意；
②∵，∴，故②不符合题意；
③∵，∴，故③不符合题意；
④∵，∴，故④符合题意；
⑤∵，∴，故⑤符合题意；
综上所述，正确的有①④⑤，共个，
故选：C．
一个不透明的布袋中装有除颜色不同外，其余完全相同的2个红球和若干个绿球，
每次将布袋摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，经过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在，估计布袋中绿球的个数为（ ）
A．3个 B．5个 C．7个 D．9个
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
利用频率估计概率，先根据红球的频率得到摸到红球的概率，通过红球个数和概率求出总球数，进而计算绿球个数．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率约为，
∴袋中球的总个数为（个），
∴布袋中绿球的个数为（个）．
故选：A．
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，
已知，图中阴影部分面积为6，则（ ）
A．58 B．88 C．40 D．52
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，，由，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设，，
，，
，
；
故选：C．
9．如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，计算解答．
【详解】解：∵长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．，
∴，，，
∵长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，
点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键．
对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果．
【详解】和均为等腰直角三角形，
，，，
，
， ，
所以①错误，
为等腰直角三角形，平分，
，
所以②正确，
，，
，
，
，
，
所以③正确，
点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以④正确，
故选：C．
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
11.计算的结果是_______
【答案】
【分析】本题考查了幂的运算，涉及逆用同底数幂的乘法运算法则、逆用积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握计算公式．
利用指数运算法则，将原式化为相同指数后合并计算．
【详解】解：
故答案为：
12．如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了用频率估计概率，先计算正方形区域的总面积，再根据“大量重复试验后，频率稳定在概率附近”，将“点落入黑色部分的概率”近似看作“黑色部分面积占正方形面积的百分比”，最后利用“黑色部分面积=正方形总面积×黑色部分面积占比”，计算出黑色部分的总面积．
【详解】解：由题意知，正方形区域的边长为，其面积为，
由于点落在黑色部分的频率稳定在0.5左右，
根据频率估计概率，黑色部分面积占正方形面积的比例约为0.5，
∴估计黑色部分的面积为，
故答案为：2．
如图，这是典典同学在体育课上跳远后留下的脚印，
体育老师向同学们介绍跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，
同学们马上就明白了需要测量线段的长度，其理论依据是： ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，根据图中信息得，结合题意内容，得出其理论依据是垂线段最短，即可作答．
【详解】解：结合图形信息，
∵跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，同学们马上就明白了需要测量线段的长度，
∴其理论依据是垂线段最短，
14．如图，在△ABC与△ACD中，AB∥CD，请添加一个条件：______，使△ABC≌△CDA．
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质可得∠BAC=∠DCA，再添加AB=CD可利用SAS判定△ABC≌△CDA．
【详解】解：添加AB=CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
15 ．如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．
若，则___________．
【答案】72
【分析】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．
【详解】解：，
，，
即，，
．
，
，
由折叠可得：，
．
故答案为：．
三、解答题：本大题有10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后代入计算即可．
【详解】解：
，
∴当，时，
原式=．
18．如图，在中，平分，于点，若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，由角平分线的定义得，进而得，根据垂直得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵于点，
∴，
∴．
19．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；
另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，
计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
求计划种植草坪的面积；
(2) 已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】(1)计划种植草坪的面积为
(2)种植草坪应投入的资金是243000元
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
20．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，
某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．
将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，
背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；
若抽到所印数字比6小，则小亮去．
求抽到印有6的卡片的概率；
求抽到所印数字为偶数的概率；
你认为这个办法对双方公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)游戏公平，理由见解析
【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）直接利用概率公式求解；
（3）分别计算出小明和小亮到社区服务的概率，然后比较两概率的大小可判断此游戏是否公平．
【详解】（1）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到印有6的卡片的有种，
∴抽到印有6的卡片的概率为；
（2）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字为偶数的有种，
∴抽到所印数字为偶数的概率为；
（3）解：游戏公平，理由为：
抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字比6大的有种，抽到所印数字比6小的有种，
∴抽到所印数字比6大的概率为；抽到所印数字比6小的概率为；
故小明和小亮到社区服务的可能性相同，游戏公平．
如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，
连接，交于点，交于点，若，．
求证：．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
证明：（________），
（已知）．
________=________（等量代换），
（________）．
（________）．
（已知），
（等量代换）．
________________（同旁内角互补，两直线平行）．
（________）．
【答案】对顶角相等；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：（对顶角相等），（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知）．
（等量代换）．
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等．
如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，
以为直角边作等腰三角形，其中，连接．
若，求的长；
与有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)与垂直，理由见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键．
（1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可；
（2）利用三角形全等的性质得到，再通过互余证明垂直即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：与垂直．
理由如下：
∵，
∴，
而，
∴，
∴．
23. 如图，已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．
如图①，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为____________；
将含角的直角三角板（）按图②所示的方式摆放，
当平分时，一定平分吗？请作出判断，并说明理由；
将一副直角三角板按图③所示的方式摆放，两个三角板的一条直角边重合，
含角的直角三角板（）的直角顶点与含角的直角三角板顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上．
求的度数．
【答案】(1)
(2)一定平分，理由见解析
(3)
【详解】（2）一定平分．
理由：因为，，
所以．
因为平分，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，
所以一定平分．
（3）如图，延长交于点．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
．
“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，
采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，
可以得到一个等式．
【探究发现】
如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系；
【探究应用】
利用上面所得的结论解答下列问题：
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，求的值；
【探究拓广】
（4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】题目主要考查完全平方公式与图形面积，根据题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据图形表示出面积即可；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）利用完全平方公式变形求解即可；
（4）利用完全平方公式变形求解即可确定三角形面积．
【详解】解：（1）由题意可得，等量关系为．
（2）由（1）可得．
因为，
所以，
所以．
（3）因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
（4）因为，
所以，即，
所以直角三角形的面积．
25．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．
若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
① 如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
② 如图2，若0°＜∠BCA＜180°，
请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，
请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
【答案】（1）①EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可，证明详见解析； ②∠与∠BCA关系：∠+∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可) ，证明详见解析.
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
【详解】解：（1）①如图1中，.
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-∠a，∠ACD+∠BCE=180°-∠a，
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在△BEC和△CFA中，.
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
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第1-4章阶段性检测2025-2026学年北师版七年级数学下册
全卷共三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分为150分．
第I卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，
只有克左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
3．一块直角三角尺按如图方式放置，其中，A、B两点分别落在直线m、n上，，要使直线，则可添加条件（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，若，，则等于（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．
其中，能判定的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
一个不透明的布袋中装有除颜色不同外，其余完全相同的2个红球和若干个绿球，
每次将布袋摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，经过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在，估计布袋中绿球的个数为（ ）
A．3个 B．5个 C．7个 D．9个
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）

A． B． C． D．
如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，
已知，图中阴影部分面积为6，则（ ）
A．58 B．88 C．40 D．52
9．如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，
点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
11.计算的结果是_______
12．如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为 ．
如图，这是典典同学在体育课上跳远后留下的脚印，
体育老师向同学们介绍跳远成绩应该是离起跳线最近点到起跳线的最短距离，
同学们马上就明白了需要测量线段的长度，其理论依据是： ．
14．如图，在△ABC与△ACD中，AB∥CD，请添加一个条件：______，使△ABC≌△CDA．
15 ．如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．
若，则___________．
三、解答题：本大题有10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：
(1)
(2)
先化简，再求值：，其中，．
18．如图，在中，平分，于点，若，，求的度数．
19．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；
另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，
计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
求计划种植草坪的面积；
(2) 已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
20．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，
某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．
将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，
背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；
若抽到所印数字比6小，则小亮去．
求抽到印有6的卡片的概率；
求抽到所印数字为偶数的概率；
你认为这个办法对双方公平吗？为什么？
如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，
连接，交于点，交于点，若，．
求证：．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
证明：（________），
（已知）．
________=________（等量代换），
（________）．
（________）．
（已知），
（等量代换）．
________________（同旁内角互补，两直线平行）．
（________）．
如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，
以为直角边作等腰三角形，其中，连接．
若，求的长；
与有何位置关系？请说明理由．
23. 如图，已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．
如图①，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为____________；
将含角的直角三角板（）按图②所示的方式摆放，
当平分时，一定平分吗？请作出判断，并说明理由；
将一副直角三角板按图③所示的方式摆放，两个三角板的一条直角边重合，
含角的直角三角板（）的直角顶点与含角的直角三角板顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上．
求的度数．
“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，
采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，
可以得到一个等式．
【探究发现】
如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系；
【探究应用】
利用上面所得的结论解答下列问题：
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，求的值；
【探究拓广】
（4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积．
25．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．
若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
① 如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
② 如图2，若0°＜∠BCA＜180°，
请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，
请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
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