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北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形 单元测试
一、选择题
1.如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（ ）
A.2 B.1.5 C.1 D.0.5
2.已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.7
3.三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（　　）
A.30° B.45° C.90° D.60°
4.下列图中不具有稳定性是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（　 　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　
A. B.平分 C.为的中点 D.
9.如图，在四边形中，是对角线，，，．四边形的面积是（ ）
A.25 B.40 C.50 D.100
10.如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（）
A. B. C. D.25
11.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则（　　）
A. B. C. D.
12.如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A. B.2 C. D.
二、填空题
13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1：5：6，则这个三角形是 　 　三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
14.如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是　 　.
15.如图所示的网格为正方形网格，则____．

16.如图，，，垂足分别为E，F，D是线段的中点，，若，，则的面积是 ．
17.[问题提出]
图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
[问题探究]
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最较简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 　 　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 　 　种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 　 　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，　 　种不同的放置方法．
[问题解决]
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 　 　种不同的放置方法．
[问题拓展]
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a＞2，b＞2，c＞2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到 　 　个图⑦这样的几何体．
三、解答题
18.如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰．实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略．
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
[直观分析]
（1）设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；
[解决问题]
（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题．
20.如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案：
小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理．
21.如图，阅读下列材料，回答问题．
[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．
[工具]如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．
小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：
①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米．
②[求解过程]由测量知，，，
∵，∴，∴（米）．
答：A、B两点之间的距离为c米．
(1)小明求得，用到的几何知识是____________________；
(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．
22.已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（ ）
A.2 B.1.5 C.1 D.0.5
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故选：A．
2.已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.7
【答案】C
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴a＝6，b＝4，c＝5，
∴a+b﹣c＝6+4﹣5＝5，
故选：C．
3.三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（　　）
A.30° B.45° C.90° D.60°
【答案】D
【解析】解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，三角形内角和为180°，∴x+y+x-y+x=180，∴3x=180，x=60，故选D．
4.下列图中不具有稳定性是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由三角形的稳定性、四边形的不稳定性可知，
含有四边形，不具有稳定性，
故选：B．
5.如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（　　）
A.∠A=∠B B.AC=BD C.∠C=∠D D.CO=DO
【答案】A
【解析】解：添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，在△ACO和△BDO中，
∠A=∠B,OA=OB,∠AOC=∠BOD ，∴△OAC≌△OBD（ASA），故选A．
6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（　 　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．
7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．
故选：D．
8.如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　
A. B.平分 C.为的中点 D.
【答案】B
【解析】解：，
，
而，
当添加时，，则，所以，所以A选项不符合题意；
当添加平分时，，不能判断，所以B项符合题意；
当添加为的中点时，，，则，所以，所以C选项不符合题意；
当添加时，所以，所以D选项不符合题意．
故选：B．
9.如图，在四边形中，是对角线，，，．四边形的面积是（ ）
A.25 B.40 C.50 D.100
【答案】C
【解析】解：如图，延长到点，使得，
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形的面积．
故选：C．
10.如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（）
A. B. C. D.25
【答案】C
【解析】解：延长、交于点，
平分，且于点，
在和中，
，
，
，，
，，
的面积为40，
，
．
故选：C．
11.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示：
结合网格特征
∴
∴
∴
∴，
∴
同理得
∵
∴
∴
故选：D
12.如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线
，
在和中
，
，，，
故选：C．
二、填空题
13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1：5：6，则这个三角形是 　 　三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】直角．
【解析】解：根据题意得：三角形的最大角度数＝180°90°．
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
14.如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是　 　.
【答案】∠A=∠D
【解析】解：要使△ABC≌△DEF，根据AAS判定，两角及其一角的对边分别对应相等，添加∠A=∠D，可判定全等.
15.如图所示的网格为正方形网格，则____．

【答案】90
【解析】解： ∵和中，
，
，
，
∵是的一个外角，
，
即，
，
．
故答案为：90

16.如图，，，垂足分别为E，F，D是线段的中点，，若，，则的面积是 ．
【答案】28
【解析】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积
，
故答案为：28．
17.[问题提出]
图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
[问题探究]
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最较简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 　 　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 　 　种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 　 　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，　 　种不同的放置方法．
[问题解决]
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 　 　种不同的放置方法．
[问题拓展]
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a＞2，b＞2，c＞2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到 　 　个图⑦这样的几何体．
【答案】解：探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，
所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法．
故答案为：（a﹣1），（4a﹣4）；
探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．
故答案为：（2a﹣2），（8a﹣8）；
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法．
问题拓展：
发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体．
故答案为：8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．
三、解答题
18.如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】解：∵，
∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与．
19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰．实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略．
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
[直观分析]
（1）设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；
[解决问题]
（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题．
【答案】解：（1）补充线段图如下：
（2）12×150+150x＝240x，
解得x＝20，
答：快马20天可以追上慢马．
20.如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案：
小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理．
【答案】解：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝AB．
即DE的长就是A、B两点之间的距离．
在△ABC与△MBC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB．
即DE的长就是A、B两点之间的距离．
21.如图，阅读下列材料，回答问题．
[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．
[工具]如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．
小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：
①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米．
②[求解过程]由测量知，，，
∵，∴，∴（米）．
答：A、B两点之间的距离为c米．
(1)小明求得，用到的几何知识是____________________；
(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．
【答案】解：（1）根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质．
故答案为：全等三角形判定与性质．
（2）如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放．
①测量米，
②测量，
然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D，
③使（需要测量，由旋转所得，不需要测量）
④最后测量米就是的距离．
求解过程：
在与中，
，
∴中，
米．
22.已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明．
【答案】解：（1）补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是，
故答案为：，，；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长到点G，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）或或，理由如下：
，
如图③，在上截取，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
，
如图④，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
；
由（1）、（2）可知，；
如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系；
综上，线段、、之间的数量关系为：或或．

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