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1.4 线段的垂直平分线
(课时2)
第一章 三角形的证明及其应用
北师大版(2024)
素养目标
2.理解并掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，并能应用解决相关问题.
1.已知底边及底边上的高，能用尺规作等腰三角形、能用尺规过直线外一点作已知直线的垂线；
知识回顾
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.
相等
垂直平分线
如何作已知线段的垂直平分线？
已知：如图，线段 AB.
求作：线段 AB 的垂直平分线.
作法： (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
(2)作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线.
C
D

B

A
新知导入
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？
探究新知
【问题1】已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？
能作出无数个，所作出的三角形不都全等.
C
B
A
a
h
C
B
A
a
h
C
B
A
a
h
探究新知
【问题2】已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
两个.
理由：等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边.
在底边垂直平分线上，可以在底边上方截取高，得到一个三角形；也可以在底边下方截取高，得到另一个三角形.这两个三角形全等，关于底边对称.
探究新知
作法 图形
已知：如图，线段 a，h.
求作： △ABC，使 AB＝AC，且 BC＝a，高 AD＝ h.
a
h
(1) 作线段 BC，使 BC=a.
(2) 作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
(3) 在 l 上作线段 DA，使 DA=h.
(4) 连接 AB，AC.
△ABC 就是所要作的等腰三角形.
A
B
C
D
l
已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
探究新知
还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
P
A
B
m
l
先在直线 l 上截取 A、B 两点，且这两点到点 P 的距离相等；
接着分别以点 A、B 为圆心，大于线段 AB 的一半的长为半径画弧，交于两点；
最后连接得到的两个交点，得到直线 m 即为所求.
探究新知
如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？
已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
作法 图形
A
B
m
l
Q
P


1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，
交直线l于点A和点B.
3. 作线段 AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
探究新知
为什么直线m经过点P？
因为点P到直线上点A，B的距离相等，
所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上.
A
B
m
l
P
Q


例题练习
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？
B
A
C
P
E
D
例题练习
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
B
A
C
P
E
D
DP是 AB 的垂直平分线
EP是 BC 的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的垂直平分线上
例题练习
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵ 点P在边AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
B
A
C
P
E
D
归纳总结
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
这个点叫作三角形的外心
探究新知
三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：
锐角三角形
三角形内部
直角三角形
斜边中点
钝角三角形
三角形外部
D
A
A
B
2
小结
已知底边及底边上的高，作等腰三角形
过直线外一点作已知直线的垂线
尺规作图
线段的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
谢谢同学们的聆听

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