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1.5 角平分线
(课时1)
第一章 三角形的证明及其应用
北师大版(2024)
素养目标
2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关问题.
1.探索并证明角平分线的性质定理及判定定理；
新知导入
我们曾经探索过角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能证明这一结论吗？
探究新知
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
【分析】证明△OPD≌△OPE
PD = PE
O
B
A
C
P
E
D
1
2
探究新知
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
O
B
A
C
P
E
D
1
2
角平分线的性质定理
归纳总结
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
【注意】该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.
归纳总结
证明线段相等的方法：
全等三角形；等腰三角形；线段的垂直平分线；等量代换；角平分线.
探究新知
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗？
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
在角的内部
它是真命题吗？你能通过证明得到结论吗？
探究新知
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
O
B
A
P
E
D
1
2
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
∵PD=PE， OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
归纳总结
角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
∵P 为∠AOB 内部一点， 且PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上 .
即 OP 平分∠AOB.
O
B
A
P
E
D
例题练习
如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，点 D 在 BC 上，AD＝10，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为 E，F，且 DE＝DF，求 DE 的长.
例题练习
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD= 30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE=12AD=12×10=5(在直角三角形中，如果一个锐
角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
?
A
B
B
C
A
3
55°
75
小结
角平分线
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
谢谢同学们的聆听

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