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(共26张PPT)
1.5 角平分线
(课时2)
第一章 三角形的证明及其应用
北师大版(2024)
素养目标
2.理解三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
1.灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的问题，进一步增强推理能力；
复习导入
回顾角平分线的的性质定理和判定定理.
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
用来证明两条线段相等
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
用来证明两角相等
你能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关的问题吗？
探究新知
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1) 已知CD=4cm，求AC的长；
(2) 求证：AB=AC+CD.
【分析】(1) 由已知可知△ABC 是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出 BD 的长，从而求出 BC 的长，即 AC 的长.
C
D
A
B
E
探究新知
解：(1) ∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC (等边对等角).
∵∠C＝90°，∴∠B＝45° .
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴BE＝DE (等角对等边).
在等腰直角三角形 BDE 中， (勾股定理).
∴AC＝BC＝CD＋BD＝( )cm .
C
D
A
B
E
探究新知
【分析】(2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明 AC＝AE，再通过证明 △BDE 为等腰直角三角形可以得到 DE＝BE，从而证出 AB＝AC+CD .
C
D
A
B
E
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1) 已知CD=4cm，求AC的长；
(2) 求证：AB=AC+CD.
探究新知
证明：由(1)的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
A
B
E
探究新知
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.
求证：∠A的平分线经过点P.
分析：要证明∠A 的平分线经过点 P，需要什么条件？
已知的两条角平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
点P到∠A的两边的距离相等.
点P到∠ABC，∠ACB的两边的距离相等.
P
M
N
B
A
C
探究新知
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.
D
F
E
P
M
N
B
A
C
归纳总结
三角形的三条角平分线相交与一点，并且这点到三边的距离相等.
这个点叫作三角形的内心
探究新知
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
探究新知
三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形____一点 交于三角形 一点
钝角三角形 交于三角形_____一点 直角三角形 交于斜边的______ 交点性质 到三角形__________的距离相等 到三角形 的距离相等
内　
外　
中点　
内　
三个顶点　
三边
解题通法
证明线段相等的常用依据：
(1)线段中点的定义；
(2)等式的基本性质；
(3)全等三角形的对应边相等；
(4)等角对等边；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(6)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A
D
C
A
D
小结
三角形的三条角平分线相交与一点，并且这点到三边的距离相等.
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
谢谢同学们的聆听

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