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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.2.2公式法第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.2.2公式法练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$）的求根公式是（）A. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ B. $$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$C. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$$ D. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}}{2a}$$1.在一元二次方程$$2x^2 - 3x - 1 = 0$$中，判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$的值是（）A. 1 B. 17 C. 13 D. 51.若一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，则$$k$$的值是（）A. 1 B. -1 C. 4 D. -41.用公式法解方程$$x^2 - 3x + 2 = 0$$，正确的结果是（）A. $$x_1 = 1$$，$$x_2 = 2$$ B.$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -2$$C. $$x_1 = 3 + \sqrt{17}$$，$$x_2 = 3 - \sqrt{17}$$ D. $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$，$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$$1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ B. $$x^2 - 2x + 3 = 0$$ C. $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ D. $$x^2 + 2x - 1 = 0$$二、填空题（每题4分，共20分）1.一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$）中，判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$：当$$\Delta > 0$$时，方程有________个不相等的实数根；当$$\Delta = 0$$时，方程有________个相等的实数根；当$$\Delta < 0$$时，方程________实数根。2.用公式法解方程$$3x^2 - 5x + 2 = 0$$，其中$$a =$$________，$$b =$$________，$$c =$$________，判别式$$\Delta =$$________。3.方程$$x^2 - 6x + 9 = 0$$的判别式$$\Delta =$$________，根的情况是________，根为________。4.若关于$$x$$的一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个不相等的实数根，则$$k$$的取值范围是________。5.用公式法解$$2x^2 + 4x - 1 = 0$$，解得$$x =$$________。三、解答题（每题15分，共60分）1.用公式法解下列一元二次方程：（1）$$x^2 - 4x - 5 = 0$$（2）$$2x^2 + 3x - 2 = 0$$（3）$$x^2 - 2x + 1 = 0$$2.先判断下列一元二次方程根的情况，再用公式法求解：（1）$$3x^2 + 4x - 1 = 0$$（2）$$2x^2 - 3x + 2 = 0$$（3）$$x^2 - 6x + 9 = 0$$3.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - 2(k + 1)x + k^2 = 0$$有两个实数根，求$$k$$的取值范围。4.已知$$x = 1$$是一元二次方程$$ax^2 + bx - 3 = 0$$的一个根，且方程有两个相等的实数根，求$$a$$、$$b$$的值。---参考答案一、选择题1.A 2.B 3.A 4.A 5.B二、填空题1.两；一；没有2. 3；-5；2；1 3. 0；有两个相等的实数根；$$x_1 = x_2 = 3$$4. $$k > -1$$且$$k \neq 0$$ 5. $$\frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$$三、解答题1.（1）$$a = 1$$，$$b = -4$$，$$c = -5$$，$$\Delta = 16 + 20 = 36$$，$$x = \frac{4 \pm 6}{2}$$，解得$$x_1 = 5$$，$$x_2 = -1$$；（2）$$a = 2$$，$$b = 3$$，$$c = -2$$，$$\Delta = 9 + 16 = 25$$，$$x = \frac{-3 \pm 5}{4}$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = -2$$；（3）$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = 1$$，$$\Delta = 4 - 4 = 0$$，$$x = \frac{2 \pm 0}{2} = 1$$，解得$$x_1 = x_2 = 1$$。2.（1）$$\Delta = 16 + 12 = 28 > 0$$，有两个不相等的实数根；$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$$；（2）$$\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$$，没有实数根；（3）$$\Delta = 36 - 36 = 0$$，有两个相等的实数根；$$x = \frac{6 \pm 0}{2} = 3$$，解得$$x_1 = x_2 = 3$$。3.由题意得$$\Delta = [-2(k + 1)]^2 - 4 \times 1 \times k^2 \geq 0$$，化简得$$4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 \geq 0$$，即$$8k + 4 \geq 0$$，解得$$k \geq -\frac{1}{2}$$。4.把$$x = 1$$代入方程得$$a + b - 3 = 0$$，即$$b = 3 - a$$；由方程有两个相等的实数根，得$$\Delta = b^2 - 4a \times (-3) = 0$$，代入$$b = 3 - a$$得$$(3 - a)^2 + 12a = 0$$，化简得$$9 - 6a + a^2 + 12a = 0$$，即$$(a + 3)^2 = 0$$，解得$$a = -3$$，则$$b = 3 - (-3) = 6$$。学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)
2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程；
(重点)
3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 .
任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：
ax2 + bx + c = 0.
合作探究
求根公式的推导
思考 如何使用配方法得出任意一元二次方程解呢？
配方法
x2 + px + ( )2 = (x + )2.
1
用配方法解一般形式一元二次方程
解：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，
因为 a ≠ 0 ，
移项，得
配方，得
则
得
∵ a ≠ 0， 4a2 > 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
≥0 .
将方程左右两边开平方，得
化简、整理得
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫作公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 + bx + c = 0 的一般形式，
当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根.
注意 使用公式法解一元二次方程的前提是：
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
例1 用公式法解下列方程
(1) 2x2 + 7x - 4 = 0； (2) x2 + 3 = 2x.
解： (1) ∵ a = 2，b = 7，c = -4，
公式法解方程
代入求根公式，得
∴ b - 4ac = 72 - 4×2×(-4) = 81 > 0.
所以原方程的根是
2
.
(2) x2 + 3 = 2x.
(2) 将原方程化为一般形式，得 x - 2x + 3 = 0.
所以原方程的根是
代入求根公式，得
∴ b - 4ac = (-2)2 - 4×1×3 = 0.
∵ a = 1，b = -2，c = 3，
例2 解方程：x2＋x－1＝0 (精确到 0.001).
解：由题意，得 a＝1，b＝1，c＝－1，
用计算器求得：
代入求根公式，得
所以原方程的根是 x1≈0.618，x2≈－1.618.
例3 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0.
∵ 在实数范围内负数不能开平方，
∴ 方程无实数根.
解：
公式法解方程的一般步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 - 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根。
归纳总结
返回
D
C
返回
2．当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　)
A．2 B．－3 C．17 D．－1
返回
D
4．若一元二次方程ax2－6x＝1能用公式法求解，则a的取值范围为______________．
a≥－9且a≠0
返回
返回
D
6. 解方程：
(1)2x2－7x＋3＝0；
(2)3x2－4x－1＝0；
返回
【点方法】用公式法解一元二次方程的前提是一元二次方程是一般形式，不要忽略这一点．
返回
【答案】C
返回
B
返回
2或6或12
10．已知整数m满足0返回
返回
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）。
务必将方程化为一般形式

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