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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）18.1第2课时勾股定理的应用第18章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册18.1第2课时勾股定理的应用一、课时核心知识点（衔接上一课时）（一）回顾勾股定理核心直角三角形中，两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，则$$a^2 + b^2 = c^2$$，核心用途是“知二求一”。关键前提：先判断三角形是否为直角三角形，明确斜边（最长边），避免代入公式出错。（二）本节课核心：勾股定理的实际应用场景本节课重点突破“非直接直角三角形”的应用，涵盖折叠、航海、立体图形表面最短路径、测量等常见场景，核心思路是：将非直角三角形、立体图形转化为直角三角形，再运用勾股定理求解。1.折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用折叠性质构造直角三角形，找到已知边与未知边的关系；2.航海问题：根据方向角（如东、南、西、北）确定直角三角形的两条直角边，求斜边（距离）或直角边（路程）；3.立体图形表面最短路径：将立体图形（如长方体、圆柱）的表面展开，转化为平面直角三角形，利用勾股定理求最短路径；4.测量问题：通过作垂线构造直角三角形，解决无法直接测量的距离（如池塘两端、建筑物高度）。（三）解题核心步骤1.审题：明确题目中的已知条件、未知量，判断是否能构造直角三角形；2.构造：通过折叠、展开、作垂线等方式，将所求问题转化为直角三角形的“知二求一”问题；3.代入：确定直角三角形的直角边和斜边，代入勾股定理公式计算；4.检验：结合实际场景，检验结果是否合理（如边长为正数、距离符合实际）。二、易错点总结（针对性突破）1.折叠问题：忽略折叠前后的对应边相等，导致无法准确构造直角三角形；2.立体图形展开：展开方式错误（如长方体展开后未形成直角三角形），或找错最短路径对应的直角边；3.航海问题：混淆方向角，无法正确确定直角三角形的两条直角边（如分不清“北偏东”“南偏西”对应的边长）；4.计算失误：涉及平方根、平方运算时出错，或未统一单位就代入计算；5.忽略实际意义：未检验结果是否符合实际（如边长为负数、距离不合理）。三、典型例题解析（分场景突破）例题1：折叠问题（平面图形折叠）如图，在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，求折痕BD的长及线段AC'的长。解析：①求折痕BD的长：长方形中$$\angle A = 90^\circ$$，AB和AD为直角边，BD为斜边，由勾股定理得：$$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$，∴ $$BD = 10$$cm；②求AC'的长：折叠后$$DC' = DC = AB = 8$$cm，$$BC' = BC = AD = 6$$cm，连接AC'，过点A作AE⊥BD于E，过点C'作C'F⊥BD于F，可证△ABE≌△C'DF，得AE = C'F，BE = DF，由面积法得AE = $$\frac{AB \times AD}{BD} = \frac{8 \times 6}{10} = 4.8$$cm，进而求得EF = BD - BE - DF = 2.8cm，四边形AEFC'为矩形，∴ $$AC' = EF = 2.8$$cm（或用勾股定理直接求解，简化思路）；答：折痕BD的长为10cm，线段AC'的长为2.8cm。例题2：航海问题一艘轮船从港口A出发，向正东方向行驶20海里到达港口B，再从港口B向正南方向行驶15海里到达港口C，求港口A与港口C之间的直线距离。解析：由题意可知，AB⊥BC，△ABC为直角三角形，其中AB = 20海里，BC = 15海里，AC为斜边，由勾股定理得：$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$，∵距离为正数，∴$$AC = \sqrt{625} = 25$$海里；答：港口A与港口C之间的直线距离为25海里。例题3：立体图形表面最短路径（长方体）一个长方体盒子的长、宽、高分别为12cm、8cm、6cm，一只蚂蚁从盒子的顶点A出发，沿盒子表面爬到对角顶点B，求蚂蚁爬行的最短路径长。解析：长方体表面展开有3种情况，将立体表面转化为平面直角三角形，分别计算路径长，取最小值：①展开长和宽所在的面：直角边为（12+8）cm、6cm，路径长$$\sqrt{20^2 + 6^2} = \sqrt{436}$$ ≈ 20.9cm；②展开长和高所在的面：直角边为（12+6）cm、8cm，路径长$$\sqrt{18^2 + 8^2} = \sqrt{388}$$ ≈ 19.7cm；③展开宽和高所在的面：直角边为（8+6）cm、12cm，路径长$$\sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{340}$$ ≈ 18.4cm；比较得最短路径长为$$\sqrt{340} = 2\sqrt{85}$$cm（或约18.4cm）；答：蚂蚁爬行的最短路径长为$$2\sqrt{85}$$cm（或约18.4cm）。例题4：测量问题（无法直接测量的距离）如图，池塘两端有A、B两点，无法直接测量AB的距离，现取一点C，使AC⊥BC，测得AC = 12m，BC = 16m，求池塘两端A、B的距离。解析：△ABC为直角三角形，$$\angle C = 90^\circ$$，AC、BC为直角边，AB为斜边，由勾股定理得：$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$$，∴ $$AB = \sqrt{400} = 20$$m；答：池塘两端A、B的距离为20m。四、课时巩固练习题（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若AB = 3，BC = 4，则折痕AC的长为（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 81.一艘轮船从A地出发，向正北行驶12km，再向正西行驶5km，此时轮船与A地的距离为（）A. 13km B. 17km C. 7km D. 15km1.长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，蚂蚁沿表面从一个顶点爬到对角顶点，最短路径长为（）A. $$\sqrt{50}$$cm B.$$\sqrt{74}$$cm C. $$\sqrt{40}$$cm D. 12cm1.如图，在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，AC = 6，BC = 8，将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，则DE的长为（）A. 3 B. 3.75 C. 4 D. 51.测量池塘两端A、B的距离，选一点C，使∠ACB = 90°，测得AC = 5m，BC = 12m，则AB的距离为（）A. 13m B. 17m C. 7m D. $$\sqrt{119}$$m（二）填空题（每题4分，共20分）1.长方形的长为10cm，宽为6cm，沿对角线折叠后，折痕的长度为________cm。2.一艘轮船从港口出发，向正东行驶16海里，再向正南行驶12海里，此时轮船与港口的直线距离为________海里。3.正方体的棱长为a，蚂蚁沿表面从一个顶点爬到对角顶点，最短路径长为________。4.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，AC = 9，BC = 12，将点C沿AB折叠到点C'，则CC'的长为________。5.如图，小明在池塘边的点A处，测得池塘对岸点B到岸边的垂直距离BC = 6m，AC = 8m，则AB的距离为________m。（三）解答题（每题15分，共60分）1.如图，长方形ABCD中，AB = 5cm，AD = 12cm，将长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，求△ABD的面积及线段AC'的长。2.一艘轮船从A港出发，先向东北方向行驶10$$\sqrt{2}$$海里，再向正东方向行驶10海里，到达B港，求A港与B港之间的直线距离。（提示：东北方向即北偏东45°，可构造等腰直角三角形）3.一个长方体礼盒，长10cm、宽8cm、高6cm，现用一根彩带从礼盒的一个顶点出发，沿表面缠绕到对角顶点，求彩带的最短长度。4.如图，在△ABC中，AB = 13，BC = 14，AC = 15，过点C作CD⊥AB于点D，求CD的长及AD的长。---参考答案一、选择题1.A 2.A 3.A 4.B 5.A二、填空题1.$$2\sqrt{34}$$ 2. 20 3. $$a\sqrt{2}$$ 4. 14.4 5. 10三、解答题1.△ABD的面积：$$\frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$$cm ；由勾股定理得BD =$$\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$$cm，折叠后DC' = DC = 5cm，BC' = BC = 12cm，构造直角三角形求解得AC' = $$\frac{60}{13}$$cm（约4.6cm）；答：△ABD的面积为30cm ，线段AC'的长为$$\frac{60}{13}$$cm。2.东北方向行驶10$$\sqrt{2}$$海里，可分解为向北、向东各10海里，则总向东行驶10 + 10 = 20海里，向北行驶10海里，由勾股定理得AB = $$\sqrt{20^2 + 10^2} = 10\sqrt{5}$$海里；答：A港与B港之间的直线距离为10$$\sqrt{5}$$海里。3.分3种展开情况计算：①长+宽：$$\sqrt{(10+8)^2 + 6^2} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$$cm；②长+高：$$\sqrt{(10+6)^2 + 8^2} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$cm；③宽+高：$$\sqrt{(8+6)^2 + 10^2} = \sqrt{296} = 2\sqrt{74}$$cm；最短长度为$$2\sqrt{74}$$cm（约17.2cm）；答：彩带的最短长度为$$2\sqrt{74}$$cm。设AD = x，则BD = 13 - x，由勾股定理得CD = AC - AD = BC - BD ，即15 - x = 14 - (13 - x) ，解得x = 9，则CD = $$\sqrt{15^2 - 9^2} = 12$$；答：CD的长为12，AD的长为9。学习目标
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点)
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. (难点)
1.什么是勾股定理
2.勾股定理有哪些公式变形
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
( a、b、c 为正数 )
公式变形：
勾股定理的简单实际应用
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图. 已知该消防车高 3 m ，将云梯伸长到 10 m ，在成功救出位于 9 m 高处的受困人后，还要救援位于 12 m 高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 ( 精确到0.1m )
1
解 如图，设 A 是云梯的下端点， AB 是伸长到10 m 后的云梯， B 是第一次救人的地点， D 是第二次救人的地点， 过点 A 的水平线与楼房 ED 的交点为 O .
则 OB = 9 - 3 = 6 (m)，OD = 12 - 3 = 9 (m).
根据勾股定理，得
AO2 = AB2 - OB2 = 102 - 62 = 64.
则 AO = 8 m .
设 AC = x m，则 OC = ( 8 - x ) m.
根据勾股定理，得 OC2 + OD2 = CD 2，
即 ( 8 - x )2 + 92 = 102.
解方程，得 x1≈12.4，x2≈3.6.
∵AC < AO < AB，
∴ x1 不合题意.
∴ x≈3.6.
答:这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约 3.6 m.
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2 m
1 m
A
B
D
C
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5，
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，
所以木板能从门框内通过.
典例精析
A
B
D
C
O
解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1，
∴ OB = 1.
在Rt△COD 中，根据勾股定理得
OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15.
∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，
梯子底端并不是外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m.
例3 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗
例4 我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高 1 尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长. (注:尺为当时的长度单位)
武英殿聚珍版《九章算术》
分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所
示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
A
B
B'
1 尺
5尺
C
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，
52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
解得 x = 12.
答：水池的水深 12 尺.
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
例5 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离.
A
2
1
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB.
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
∴ A，B 两点间的距离为 5.
利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL”
2
方法总结：两点间的距离公式：一般地，设平面上有任意两点
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (HL)．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
　　已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =
∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′ ．
　　求证：△ABC≌△A′B′C′．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∠C =∠C′ = 90°，
根据勾股定理得
A
B
C
A
B
C′
′
′
C
B
A
问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？
利用勾股定理求最短距离
3
A
B
蚂蚁从 A→B 的路线
问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？
B
A
将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线.
若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例6 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子 ，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离.
AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得
即梯子最短需 13 米.
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C
1．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　)
A．8 B．10
C．12 D．13
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2．如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的．若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为(　　)
A．24 B．36
C．40 D．44
【答案】D
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2.4
3．[2025连云港]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为________m.
4．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再继续向北走4.5 km，然后往东一拐，仅走0.5 km就找到了宝藏，则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是________km.
6.5
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5．[2025安庆月考]某条高速公路限速100 km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50 m的B处，过了
4 s，大巴车到达A处，此时测得大
巴车与车速检测仪间的距离为130 m．
问：这辆大巴车超速了吗？
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2
7．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是________．
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9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在
的直线于点F，连接AF.设点D的运动时间
为t秒．当△ABF是等腰三角形时，t＝
____________．
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勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及最短路径问题
解决“HL”判定方法论证全等的正确性问题

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