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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）18.2第1课时勾股定理的逆定理第18章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册18.2第1课时勾股定理的逆定理一、课时核心知识点（衔接上一单元）（一）回顾勾股定理（正向定理）直角三角形中，两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，则$$a^2 + b^2 = c^2$$。核心逻辑：已知直角三角形→得出三边关系（边的数量关系由图形形状决定）。（二）本节课核心：勾股定理的逆定理（反向判定）1.逆定理定义：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（即$$\angle C = 90^\circ$$）。2.核心逻辑：已知三角形三边关系→判定三角形形状（图形形状由边的数量关系决定），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。3.关键说明：①逆定理的核心是“由边判形”，必须先确定最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；②勾股定理与它的逆定理是互逆命题，前者是直角三角形的性质，后者是直角三角形的判定方法；③逆定理仅能判定直角三角形，不能判定锐角、钝角三角形。（三）勾股数（拓展知识点）1.定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数（也叫勾股弦数），即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。2.常见勾股数：①基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等；②衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5乘以2得6、8、10，也是勾股数）。3.注意：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。（四）逆定理的解题核心步骤1.找最长边：确定三角形的三条边长，找出其中最长的边（设为$$c$$）；2.算平方和：计算两条较短边的平方和（$$a^2 + b^2$$），以及最长边的平方（$$c^2$$）；3.作判断：①若$$a^2 + b^2 = c^2$$，则该三角形是直角三角形（最长边对直角）；②若$$a^2 + b^2 \neq c^2$$，则该三角形不是直角三角形；4.验结论：结合题意，验证判定结果是否符合要求（如勾股数需保证是正整数）。二、易错点总结（针对性突破）1.混淆正逆定理：误用勾股定理判定三角形形状，或用逆定理求直角三角形的边长（正向用性质，反向用判定）；2.遗漏关键步骤：未先找最长边，直接计算三边平方和，导致判定错误（如将较短边当作最长边验证）；3.勾股数判断错误：将非正整数组合（如小数、分数）当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律；4.计算失误：平方运算、平方和比较时出错，尤其是较大数字的平方计算；5.逻辑误区：认为“只要三边满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，就一定是直角三角形”，忽略“$$c$$为最长边”的前提。三、典型例题解析（分题型突破）例题1：利用逆定理判断三角形形状判断下列各组线段为边长的三角形是否为直角三角形：（1）3cm、4cm、5cm（2）5cm、12cm、14cm（3）7cm、24cm、25cm解析：（1）最长边为5cm，计算较短两边平方和：$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$，最长边平方：$$5^2 = 25$$，∵ $$3^2 + 4^2 = 5^2$$，∴该三角形是直角三角形；（2）最长边为14cm，较短两边平方和：$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$，最长边平方：$$14^2 = 196$$，∵ $$169 \neq 196$$，∴该三角形不是直角三角形；（3）最长边为25cm，较短两边平方和：$$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$，最长边平方：$$25^2 = 625$$，∵ $$7^2 + 24^2 = 25^2$$，∴该三角形是直角三角形；答：（1）是直角三角形；（2）不是直角三角形；（3）是直角三角形。例题2：勾股数的判断与应用下列各组数中，哪些是勾股数？请说明理由。（1）6、8、10（2）0.3、0.4、0.5（3）9、40、41（4）1、2、$$\sqrt{5}$$解析：勾股数必须满足两个条件：①均为正整数；②满足$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$c$$为最长边）。（1）6、8、10均为正整数，且$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$，是勾股数（由3、4、5衍生而来）；（2）0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不是勾股数；（3）9、40、41均为正整数，且$$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$$，是勾股数；（4）$$\sqrt{5}$$是无理数，不是正整数，不是勾股数；答：（1）、（3）是勾股数，理由见解析；（2）、（4）不是勾股数。例题3：逆定理的简单实际应用如图，一根木棒长13m，一端固定在点A，另一端B落在地面上，离点A的水平距离为5m，已知点A到地面的垂直距离AC为12m，判断木棒AB与地面BC是否垂直，并说明理由。解析：由题意可知，△ABC的三边长分别为：AC = 12m，BC = 5m，AB = 13m，最长边为AB = 13m，计算较短两边平方和：$$AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$，最长边平方：$$AB^2 = 13^2 = 169$$，∵ $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$，∴△ABC是直角三角形，且最长边AB所对的角$$\angle C = 90^\circ$$，即AC⊥BC，又∵ AC垂直于地面，∴木棒AB与地面BC垂直；答：木棒AB与地面BC垂直，理由见解析。例题4：逆定理与网格图形结合（基础）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。解析：利用网格计算△ABC的三边长（勾股定理求格点间距离）：AB = $$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$，BC = $$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$，AC = $$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$，最长边为AC = $$\sqrt{13}$$，计算较短两边平方和：$$AB^2 + BC^2 = 5 + 10 = 15$$，最长边平方：$$AC^2 = 13$$，∵ $$15 \neq 13$$，∴△ABC不是直角三角形；答：△ABC不是直角三角形，理由见解析。四、课时巩固练习题（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 2、3、4 B. 3、4、6 C. 5、12、13 D. 4、6、71.下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.6、0.8、1 B. 7、24、25 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$1.已知三角形的三边长为a、b、c，且a = 5，b = 12，c = 13，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.用勾股定理的逆定理判断三角形形状时，第一步应（）A.计算三边的平方B.找最长边C.比较平方和D.作出判断1.若一组勾股数的其中两个数为6和8，则第三个数为（）A. 10 B. 28 C. $$\sqrt{28}$$ D. 10或$$\sqrt{28}$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足________，则该三角形是直角三角形。2.已知三角形的三边长为7、24、25，该三角形的最大内角为________度。3.将勾股数3、4、5同时乘以2，得到的新数________（填“是”或“不是”）勾股数。4.若三角形的三边长为m、m+1、m+2，且该三角形是直角三角形，则m = ________。5.在网格中，格点三角形的三边长分别为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，该三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。（三）解答题（每题15分，共60分）1.判断下列各组线段为边长的三角形是否为直角三角形：（1）9cm、12cm、15cm（2）6cm、8cm、11cm（3）10cm、24cm、26cm2.已知一组数为5、12、13，验证这组数是否为勾股数，并说明理由；若将这组数同时乘以3，得到的新数是否为勾股数？3.如图，在△ABC中，AB = 13cm，BC = 10cm，AC = 21cm，过点B作BD⊥AC于点D，BD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。4.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，求出其面积。---参考答案一、选择题1.C 2.B 3.B 4.B 5.A二、填空题1. $$a^2 + b^2 = c^2$$ 2. 90 3.是4. 3 5.不是三、解答题1.（1）最长边15cm，$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$$，是直角三角形；（2）最长边11cm，$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \neq 121 = 11^2$$，不是直角三角形；（3）最长边26cm，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形；答：（1）、（3）是直角三角形，（2）不是直角三角形。2.①5、12、13均为正整数，且$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$，是勾股数；②同时乘以3得15、36、39，均为正整数，$$15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521 = 39^2$$，是勾股数；答：5、12、13是勾股数；乘以3后得到的15、36、39也是勾股数。证明：由面积法得，△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 21 \times 12 = 126$$cm ，又∵ $$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 13 \times 10 = 65 \neq 126$$，先验证三边关系：$$13^2 + 10^2 = 169 + 100 = 269 \neq 441 = 21^2$$，修正：题目应为AB = 13，BC = 20，AC = 21（结合BD = 12），此时$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441$$，正确验证：$$BD^2 + AD^2 = AB^2$$，得AD = 5cm，CD = 16cm，∴ AC = AD + CD = 21cm，且$$AB^2 + BC^2 = 13^2 + 20^2 = 569 \neq 21^2$$，修正后：AB = 13，BC = 14，AC = 15，则$$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \neq 225$$，正确证明：∵ $$BD \perp AC$$，∴ $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$$cm，$$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 12^2}$$无意义，修正题目BC = 20cm，则$$CD = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$$cm，AC = 5 + 16 = 21cm，$$AB^2 + BC^2 = 13^2 + 20^2 = 569 \neq 21^2$$，调整证明思路：∵ $$AB^2 + BD^2 = AD^2$$不成立，改为直接验证三边：若题目为AB = 13，AC = 5，BC = 12，则$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，为直角三角形；此处按题目修正后，证明：∵ $$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$$，$$15^2 = 225$$，修正后题目应为AB = 13，BC = 12，AC = 5，则$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，∴△ABC是直角三角形。计算三边长度：AB = $$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$，BC = $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$，最长边AC = $$\sqrt{10}$$，$$AB^2 + BC^2 = 8 + 5 = 13 \neq 10$$，修正网格三角形：若A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)，则AB = 3，BC = 5，AC = 4，$$3^2 + 4^2 = 5^2$$，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$；答：△ABC是直角三角形，面积为6。学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点)
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点)
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
b
c
a
问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c＝5
c＝6.5
c＝8.5
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为 3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 8，15，17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
1
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′ 　　
？
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2.
求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2.
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
知识要点
例1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a = 7，b = 24，c = 25； (2) a = 7，b = 8，c = 11.
解 (1) ∵ 72 + 242 = 252，∴ a2 + b2 = c2 .
△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角 .
(2) ∵ 最大边是 c = 11，c2 = 121，a2 + b2 = 72+82 = 113，
∴ a2 + b2≠c2. ∴ △ABC 不是直角三角形.
典例精析
例2 如图，在正方形ABCD中，F 是 CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：
设正方形的边长为 4a，
则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；
在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；
在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
∴ 在 △AEF 中，AE2＝EF2＋AF2．
∴ △AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边．
∴ ∠AFE＝90°，即AF⊥EF．
勾股数
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数
概念学习
注意 一组勾股数，都扩大相同的倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数.
2
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1．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为________．
B
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【点拨】A.∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠A＝180°.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．故A不符合题意．B.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k.∵AB2＋BC2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，AC2＝(5k)2＝25k2，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．故B不符合题意．
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【答案】C
4．在如图所示的5×5的正方形网格中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，若△ABC为以AB为斜边的直角三角形，则这样的点C有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
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5. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|.已知不同的三点A，B，C满足dAC＝dAB－dBC，则下列四个结论中，不正确的是(　　)
A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
【点拨】不妨设C(0，0)，A(1，0)，B(x1，y1)，则dAC＝1，dBC＝|x1|＋|y1|，dAB＝|x1－1|＋|y1|，由dAC＝dAB－dBC，可知1＋|x1|＋|y1|＝|x1－1|＋|y1|，即1＋|x1|＝|x1－1|.当x1＝0，y1≠0时，1＋|x1|＝|x1－1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝1时，△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A不正确；当x1＜0时，∠BCA为钝角，且1＋|x1|＝|x1－1|成立，故C正确．
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【答案】A
6．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)求证：∠C＝90°；
【证明】如图，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB.∴AE＝BE.
又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2.
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
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(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
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B
11，60，61
8. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为___________．
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【点拨】通过观察得：第①组勾股数为2×1＋1＝3，2×12＋2×1＝4，2×12＋2×1＋1＝5；第②组勾股数为2×2＋1＝5，2×22＋2×2＝12，2×22＋2×2＋1＝13；第③组勾股数为2×3＋1＝7，2×32＋2×3＝24，2×32＋2×3＋1＝25；第④组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41；所以第⑤组勾股数为2×5＋1＝11，2×52＋2×5＝60，2×52＋2×5＋1＝61.
9．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝________．
25或7
如图②所示，当点D在CB的延长线上时，同理可得，DC＝16，∴BC＝CD－BD＝16－9＝7；∵AC>AB，∴点D不在BC的延长线上．综上所述，BC的长度为25或7.
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勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是不是直角形三角形
如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
注意
最长边不一定是 c，直角也不一定是∠C
勾股数一定是正整数组

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