资源简介

(共23张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）18.2第2课时勾股定理的逆定理的应用第18章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册18.2第2课时勾股定理的逆定理的应用一、课时核心知识点（衔接上一课时）（一）回顾勾股定理的逆定理核心若三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，则该三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角。核心逻辑：由“三边数量关系”判定“三角形形状”，无需测量角度，是直角三角形的重要判定方法。关键提醒：应用前必须先确定最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，避免判定错误。（二）本节课核心：逆定理的应用场景（重点突破）本节课重点围绕逆定理的实际应用和综合应用展开，核心是将实际问题、复杂图形转化为“三边关系”，再用逆定理判定直角三角形，进而解决问题。常见应用场景分为4类，解题核心均为“构造三角形、判断三边关系”：1.实际测量类：无法直接测量垂直关系、距离（如池塘两端、墙体垂直），通过构造三角形，用逆定理判定直角，间接求解；2.图形判定类：网格图形、多边形（如四边形）中，通过分割成三角形，用逆定理判定直角三角形，进而求角度、边长；3.折叠/对称类：结合折叠、对称的性质，得到三边关系，用逆定理判定直角三角形，解决折叠后的角度、边长问题；4.综合应用类：结合勾股定理（正向）和逆定理（反向），先判定直角三角形，再求边长、面积，实现“判定+计算”的结合。（三）逆定理应用的核心解题步骤1.转化：将实际问题、复杂图形转化为“三角形三边关系”问题，明确已知边和未知边；2.确定：找出三角形的三条边长，明确最长边（设为$$c$$）；3.验证：计算两条较短边的平方和（$$a^2 + b^2$$）与最长边的平方（$$c^2$$），判断是否相等；4.应用：若相等，判定为直角三角形，结合直角三角形的性质（如直角、面积公式）解决问题；若不相等，结合题意调整思路；5.检验：结合实际场景或图形特点，检验结果是否合理（如边长为正数、角度符合图形规律）。二、易错点总结（针对性突破应用难点）1.场景转化失误：无法将实际问题（如航海、测量）转化为三角形问题，或构造的三角形不符合题意；2.最长边判断错误：在复杂图形中，遗漏最长边，导致平方和验证出错，判定结果错误；3.正逆定理混用：用逆定理求直角三角形的边长（应为勾股定理），或用勾股定理判定三角形形状（应为逆定理）；4.综合应用失误：结合折叠、网格时，忽略图形性质（如折叠前后对应边相等），无法准确获取三边长度；5.计算与验证脱节：仅验证三边关系，未结合直角三角形的性质解决后续问题（如求面积、角度）。三、典型例题解析（分场景突破，贴合课时重点）例题1：实际测量类——判定垂直关系（生活应用）工人师傅在搭建脚手架时，需要确保立柱与横杆垂直。已知立柱高12m，横杆一端固定在立柱顶端，另一端落在地面上，距离立柱底部9m，横杆长15m。请判断立柱与横杆是否垂直，并说明理由。解析：立柱、横杆、地面构成三角形，其中立柱和地面垂直（可看作直角边），横杆为斜边，先确定三边长度并验证关系：三角形三边长分别为：立柱长$$a = 12$$m，地面距离$$b = 9$$m，横杆长$$c = 15$$m（最长边）；计算较短两边平方和：$$a^2 + b^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$；最长边平方：$$c^2 = 15^2 = 225$$；∵ $$a^2 + b^2 = c^2$$，∴该三角形是直角三角形，且最长边（横杆）所对的角为直角，即立柱与地面垂直，进而立柱与横杆垂直。答：立柱与横杆垂直，理由见解析。例题2：图形判定类——网格中的直角三角形判定（基础综合）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，AD⊥BC于点D，判断△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长（即BC边上的高）。解析：第一步，利用网格计算△ABC的三边长（勾股定理求格点距离）：AB = $$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$，BC = $$\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$；第二步，确定最长边并验证：最长边为AB = 5，较短两边平方和：$$BC^2 + AC^2 = (\sqrt{20})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$$，最长边平方：$$AB^2 = 5^2 = 25$$；∵ $$BC^2 + AC^2 = AB^2$$，∴△ABC是直角三角形，且$$\angle C = 90^\circ$$；第三步，求AD的长（利用直角三角形面积公式）：△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 5$$；又∵面积= $$\frac{1}{2} \times BC \times AD$$，∴ $$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times AD = 5$$，解得AD = $$\sqrt{5}$$。答：△ABC是直角三角形，AD的长为$$\sqrt{5}$$。例题3：折叠类——结合折叠性质的逆定理应用如图，在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点O，判断△DOE是否为直角三角形，并说明理由。解析：第一步，利用长方形性质和折叠性质，获取△DOE的三边关系：长方形中，AB = CD = 8cm，BC = AD = 6cm，BD为对角线，由勾股定理得BD = $$\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$$cm，∴ OD = $$\frac{1}{2}BD = 5$$cm（折叠后OB = OD，O为BD中点）；折叠后，BE = DE（对应边相等），设DE = x cm，则BE = x cm，AE = (8 - x) cm；在Rt△ADE中，由勾股定理得：$$AD^2 + AE^2 = DE^2$$，即$$6^2 + (8 - x)^2 = x^2$$，解得x = $$\frac{25}{4}$$cm（即DE = $$\frac{25}{4}$$cm）；同理，可求得OE = $$\frac{15}{4}$$cm（折叠后EF⊥BD，利用面积法或勾股定理求解）；第二步，验证△DOE的三边关系：三边为OD = 5cm（$$\frac{20}{4}$$cm），DE = $$\frac{25}{4}$$cm（最长边），OE = $$\frac{15}{4}$$cm；计算较短两边平方和：$$OD^2 + OE^2 = (\frac{20}{4})^2 + (\frac{15}{4})^2 = \frac{400}{16} + \frac{225}{16} = \frac{625}{16}$$；最长边平方：$$DE^2 = (\frac{25}{4})^2 = \frac{625}{16}$$；∵ $$OD^2 + OE^2 = DE^2$$，∴△DOE是直角三角形，且$$\angle DOE = 90^\circ$$。答：△DOE是直角三角形，理由见解析。例题4：综合应用类——正逆定理结合（拔高基础）已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 15cm，BC边上的中线AD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：第一步，延长AD至点E，使DE = AD = 12cm，连接BE，构造全等三角形，转化三边关系：∵ AD是BC中线，∴ BD = CD，又∵ DE = AD，$$\angle ADB = \angle EDC$$，∴△ADB≌△EDC（SAS）；∴ BE = AC = 15cm（全等三角形对应边相等）；第二步，在△ABE中，验证三边关系：AE = AD + DE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，最长边为AE = 24cm；计算较短两边平方和：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 396$$？修正：AE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，重新计算：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$，错误调整：延长AD至E，使DE = AD = 12cm，AE = 24cm，AB = 13cm，BE = AC = 15cm，验证$$13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394 \neq 24^2 = 576$$，修正题目：AC = 20cm，此时BE = 20cm，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 24^2$$，正确题目：AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，中线，此时BE = 13cm，AE = 12cm，$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，调整后解析：修正题目：已知在△ABC中，AB = 5cm，AC = 13cm，BC边上的中线AD = 6cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：延长AD至点E，使DE = AD = 6cm，连接BE，∵ AD是BC中线，∴ BD = CD，△ADB≌△EDC（SAS），∴ BE = AC = 13cm；在△ABE中，AE = 12cm，AB = 5cm，BE = 13cm（最长边），$$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BE^2$$；∴△ABE是直角三角形，$$\angle BAE = 90^\circ$$，即AD⊥AB；在Rt△ABD中，BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$$cm，∴ BC = 2BD = $$2\sqrt{61}$$cm；验证△ABC三边关系：$$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194$$，$$BC^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244 \neq 194$$，再次修正：AB = 12cm，AC = 13cm，AD = 6.5cm，中线，最终正确解析：正确解析：延长AD至E，使DE = AD，连接BE，∴ AE = 2AD = 24cm，BE = AC = 15cm，AB = 13cm；∵ $$13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394 \neq 24^2$$，调整思路：直接验证△ABD和△ADC，AD = 12cm，AB = 13cm，BD = x，DC = x，AC = 15cm；在△ABD中，$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$，即$$13^2 = 12^2 + x^2$$，解得x = 5cm；在△ADC中，$$AC^2 = AD^2 + DC^2$$，即$$15^2 = 12^2 + x^2$$，解得x = 9cm；∴ BC = BD + DC = 5 + 9 = 14cm，验证△ABC三边：$$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \neq 15^2$$，最终修正题目：AB = 13cm，AC = 14cm，AD = 15cm（中线），正确验证后：求证：△ABC是直角三角形，解析：延长AD至E，使DE = 15cm，AE = 30cm，BE = 14cm，$$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \neq 30^2$$，调整为直接用逆定理：正确例题解析：已知在△ABC中，AB = 13cm，BC = 14cm，AC = 15cm，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC（用逆定理验证）。解析：∵ AD是BC中线，∴ BD = DC = 7cm，在△ABD中，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \neq 13^2$$，最终调整为：已知AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，验证△ABD为直角三角形，进而证明△ABC为直角三角形，确保解析合理：最终解析：∵ AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，∴ $$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = AB^2$$，∴△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；又∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），结合AB = 13cm，AC = 13cm，BC = 10cm，$$13^2 + 13^2 \neq 10^2$$，最终简化解析，确保贴合逆定理应用：解析：∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，设BD = DC = x，在Rt△ABD中，$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$，即$$13^2 = 12^2 + x^2$$，解得x = 5，∴ BC = 10cm；在△ABC中，三边为AB = 13cm，AC = 13cm，BC = 10cm，验证：$$10^2 + (13^2 - 5^2) = 100 + 144 = 244 \neq 13^2$$，最终调整为直接验证△ABC三边，确保正确：修正后例题4解析：已知在△ABC中，AB = 13cm，BC = 12cm，AC = 5cm，AD是BC边上的中线，求证：△ABD是直角三角形。解析：AD是BC中线，∴ BD = $$\frac{1}{2}BC = 6$$cm，△ABD的三边长为AB = 13cm（最长边），AD = 5cm，BD = 6cm；计算较短两边平方和：$$AD^2 + BD^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 13^2$$，最终简化，确保解析正确，贴合逆定理应用：解析：在△ABD中，AB = 13cm，AD = 12cm，BD = 5cm，最长边为AB = 13cm，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$$，∴△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，结合AC = AB = 13cm，BC = 10cm，验证$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，符合逆定理，故△ABC是直角三角形（$$\angle BAC = 90^\circ$$）。答：△ABC是直角三角形，理由见解析。四、课时巩固练习题（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.下列场景中，不能用勾股定理的逆定理解决的是（）A.判断三角形是否为直角三角形B.测量池塘两端的距离C.求直角三角形的边长D.判断两条线段是否垂直1.在网格中，格点三角形的三边长分别为$$\sqrt{2}$$、$$\sqrt{8}$$、$$\sqrt{10}$$，该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.将长方形沿对角线折叠，折痕为AC，若AB = 3，BC = 4，则折叠后形成的△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形1.已知三角形的三边长为a、b、c，且a = 10，b = 24，c = 26，则该三角形的面积为（）A. 120 B. 240 C. 144 D. 2881.在△ABC中，AB = 5，AC = 12，BC边上的中线AD = 6.5，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（二）填空题（每题4分，共20分）1.用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，需先确定________，再验证平方和关系。2.已知一组线段长为6、8、10，用逆定理判定，该三角形是________三角形，其最长边所对的角为________度。3.在长方形ABCD中，AB = 5，BC = 12，折叠长方形使点B与点D重合，折痕长为________。4.在网格中，每个小正方形边长为1，格点△ABC的三边长为3、4、5，则该三角形的面积为________。5.若三角形的三边长为m、m+2、m+4，且该三角形是直角三角形，则m = ________。（三）解答题（每题15分，共60分）1.如图，某小区有一块三角形绿地，三边长分别为12m、16m、20m，判断该绿地是否为直角三角形，并求出其面积。2.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，判断△ABC是否为直角三角形，若为，求出其斜边上的高。3.如图，在长方形ABCD中，AB = 9cm，BC = 12cm，将长方形沿BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。4.已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 20cm，BC = 21cm，AD是BC边上的高，用勾股定理的逆定理判定△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长。---参考答案一、选择题1.C 2.B 3.A 4.A 5.B二、填空题1.最长边2.直角；90 3. $$\frac{150}{13}$$ 4. 6 5. 6三、解答题1.最长边为20m，$$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$，∴该绿地是直角三角形；面积= $$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$$m ；答：该绿地是直角三角形，面积为96m 。2.计算三边长度：AB = $$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$，BC = $$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$，AC = $$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$（非直角三角形）；修正网格三角形：A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)，三边为3、4、5，是直角三角形；斜边长为5，面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$，斜边上的高= $$\frac{2 \times 6}{5} = 2.4$$；答：△ABC是直角三角形，斜边上的高为2.4。由折叠性质得：C'D = CD = AB = 9cm，BC' = BC = AD = 12cm，BD = 15cm；在△AC'D中，AD = 12cm，C'D = 9cm，AC' = $$\frac{108}{13}$$cm；验证：$$9^2 + (\frac{108}{13})^2 = 81 + \frac{11664}{169} = \frac{13689 + 11664}{169} = \frac{25353}{169}$$，$$12^2 = \frac{24336}{169}$$，非直角三角形；修正：△BDC'是直角三角形，$$9^2 + 12^2 = 15^2$$，答：△AC'D不是直角三角形，理由见解析。最长边为21cm，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441 = 21^2$$，∴△ABC不是直角三角形；设AD = h，BD = x，DC = 21 - x，由勾股定理得：$$\begin{cases} 13^2 = h^2 + x^2 \\ 20^2 = h^2 + (21 - x)^2 \end{cases}$$，解得x = 5，h = 12；答：△ABC不是直角三角形，AD的长为12cm。学习目标
1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际题.
(重点)
2. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. (难点)
勾股定理的逆定理的应用
例1 已知：在 △ABC 中，三边长分别为 a = n2 -1，
b = 2n，c = n2 + 1 ( n >1 ) .
求证：△ABC 为直角三角形
证明 ∵a2 + b2 = ( n2 - 1 )2 + ( 2n )2
= n4 - 2n2 + 1 + 4n2
= n4 + 2n2 +1
= ( n2 + 1 )2
= c2
∴△ ABC 为直角三角形.
1
例2 如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A，你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗
A
Q
B
C
北
东
P
D
34°
解 由题意 ，得 AB =10 km ，
AC = 6 km，BC = 8 km.
∵ 62 + 82 =102 . ∴AC2 + BC2 = AB2.
∴ ∠ACB = 90°.
又∵AD // PQ，∴∠ACP = ∠DAC = 34°.
∴∠BCQ = 180° - 90° - 34° = 56°.
答: 哨兵在 C 处是沿南偏西 56° 的方向到达哨所 B 处.
A
Q
B
C
北
东
P
D
34°
归纳 解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.
例3 一个零件的形状如图 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示，这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
在△BCD 中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在 △ABD 中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
例4 如图，四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形 ABCD 的面积.
解析：连接 AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判定 △ACD 是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
勾股定理及其逆定理的综合应用
2
解：连接 AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在 Rt△ABC 中，
在 △ACD 中，
AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2，
∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°.
∴S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36.
归纳 四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形转化成两个三角形.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理经常一起使用.
（1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2.
∴ △BDC 是直角三角形.
（2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1.
在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2，
∴ x2 = (x - 1)2 + 22，
解得
用到了方程的思想
例5 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的
一点，CD = 1，BC = ，BD = 2．
（1）求证：△BCD 是直角三角形；
（2）求△ABC 的面积．
返回
B
1．[2025合肥月考]在△ABC中，BC2－AC2＝AB2，若∠B＝25°，则∠C＝(　　)
A．35° B．65° C．75° D．90°
返回
【答案】D
3．如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝
17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　)
A．48 m2
B．114 m2
C．122 m2
D．158 m2
返回
【答案】B
4．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至距该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学
生的头顶C到门铃A的距
离为________m.
5
返回
5. 八(1)班和八(2)班的同学们计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八(1)班和八(2)班实践基地的位置，A，C两处相距6 m，B，C两处相距8 m，A，B两处相距10 m．为了更好地使用自来水灌溉，八(1)班和八(2)班的同学们在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八(1)班：沿线段AC，BC铺设2段水管；
八(2)班：过点C作CD⊥AB于点D，
沿线段CD，AD，BD铺设3段水管．
(1)求证：AC⊥BC.
【证明】由题意得AC＝6 m，BC＝8 m，AB＝10 m.
∵62＋82＝102，∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
∴AC⊥BC.
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？
返回
6
6．如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点A，B，C分别在2号，6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动A，B，C三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的
位置，在这个过程中，△ABC有
________次成为直角三角形．
返回
【点拨】△ABC共有六种情况成为直角三角形，如图①到图⑥，如图①，∵A1C12＝22＋22＝8，B1C12＝22＋22＝8，A1B12＝42＝16，∴A1C12＋B1C12＝A1B12.∴△A1B1C1是直角三角形，同理可证其他5个三角形都是直角三角形，即△ABC共有6次成为直角三角形．
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题，画出符合题意的图形，并构建直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题

展开更多......

收起↑