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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）18.1第1课时勾股定理第18章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册18.1第1课时勾股定理一、课时核心知识点（一）勾股定理的定义在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，则可表示为：$$a^2 + b^2 = c^2$$。补充说明：①勾股定理仅适用于$$直角三角形$$，非直角三角形不适用；②其中，较短的两条直角边称为“勾”和“股”，斜边称为“弦”；③几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积和，等于斜边对应的正方形面积。（二）勾股定理的证明（核心思路）常见证明方法：割补法（最基础、最易理解），核心是通过分割、拼接，将直角三角形的面积与正方形面积关联，验证$$a^2 + b^2 = c^2$$。简单推导：以直角三角形$$ABC$$（$$\angle C = 90^\circ$$）的三条边为边长，分别向外作正方形，通过割补可得：两个直角边对应的正方形面积和=斜边对应的正方形面积，即$$a^2 + b^2 = c^2$$。（三）勾股定理的初步应用核心用途：已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长（“知二求一”）。1.已知两条直角边$$a$$、$$b$$，求斜边$$c$$：$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$；2.已知斜边$$c$$和一条直角边$$a$$，求另一条直角边$$b$$：$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$（同理，已知$$c$$和$$b$$，求$$a$$：$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$）。注意：计算时需先判断哪条边是斜边（直角三角形中，斜边是最长的边），避免代入错误。二、易错点总结1.混淆适用范围：将勾股定理用于非直角三角形，导致计算错误；2.边长代入错误：把斜边当作直角边代入公式，或混淆两条直角边的对应关系；3.计算失误：平方根运算出错（如$$\sqrt{25} = \pm 5$$，忽略边长为正数，舍去负根）；4.单位不统一：计算前未将各边长的单位统一（如一边为cm，一边为m），导致结果错误。三、典型例题解析例题1：已知直角边求斜边在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，两条直角边AC = 6cm，BC = 8cm，求斜边AB的长。解析：由勾股定理得，$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$，代入数据：$$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$，∵边长为正数，∴ $$AB = \sqrt{100} = 10$$cm，答：斜边AB的长为10cm。例题2：已知斜边和一条直角边求另一条直角边在Rt△DEF中，$$\angle D = 90^\circ$$，斜边EF = 13cm，直角边DE = 5cm，求另一条直角边DF的长。解析：由勾股定理得，$$EF^2 = DE^2 + DF^2$$，变形得$$DF^2 = EF^2 - DE^2$$，代入数据：$$DF^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$，∵边长为正数，∴ $$DF = \sqrt{144} = 12$$cm，答：另一条直角边DF的长为12cm。例题3：勾股定理的简单实际应用一架梯子靠在墙上，梯子底部距离墙壁4m，梯子顶端到地面的高度为3m，求梯子的长度。解析：梯子、墙壁和地面构成直角三角形，其中梯子为斜边，底部到墙壁的距离和顶端到地面的高度为两条直角边，设梯子长度为$$c$$m，由勾股定理得：$$c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$，解得$$c = 5$$m，答：梯子的长度为5m。四、课时巩固练习题（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理的适用范围是（）A.所有三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，$$a = 3$$，$$b = 4$$，则斜边$$c$$的值为（）A. 5 B. 7 C. 25 D. $$\sqrt{7}$$1.在Rt△XYZ中，$$\angle Y = 90^\circ$$，斜边XZ = 10，直角边XY = 6，则YZ的长为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. $$\sqrt{136}$$1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，71.已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边的长为（）A. 13 B. 17 C. 7 D. $$\sqrt{119}$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，若$$a = 5$$，$$c = 13$$，则$$b =$$________。2.勾股定理的表达式为（用$$a$$、$$b$$、$$c$$分别表示直角边和斜边）：________。3.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则这个直角三角形的斜边长为________。4.若直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边的平方为________。5.小明量得家里的门框的宽为3m，高为4m，则门框的对角线长为________m。（三）解答题（每题15分，共60分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知AC = 9cm，BC = 12cm，求斜边AB的长及AB边上的高（提示：利用三角形面积公式）。2.在Rt△DEF中，$$\angle E = 90^\circ$$，斜边DF = 15cm，直角边DE = 9cm，求另一条直角边EF的长。3.一根电线杆垂直于地面，从电线杆底部到地面上一点的距离为6m，从该点到电线杆顶端的距离为10m，求电线杆的高度。4.判断线段a = 7，b = 24，c = 25能否构成直角三角形，并说明理由。---参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.C 5.A二、填空题1. 12 2. $$a^2 + b^2 = c^2$$ 3. 10 4. 64 5. 5三、解答题1.由勾股定理得：$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$，∴ $$AB = 15$$cm；设AB边上的高为$$h$$，由三角形面积公式：$$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times h$$，即$$\frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 15 \times h$$，解得$$h = 7.2$$cm；答：斜边AB的长为15cm，AB边上的高为7.2cm。2.由勾股定理得：$$EF^2 = DF^2 - DE^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$，∵边长为正数，∴ $$EF = 12$$cm；答：另一条直角边EF的长为12cm。3.电线杆、地面和从该点到电线杆顶端的线段构成直角三角形，电线杆为一条直角边，设电线杆高度为$$h$$m，由勾股定理得：$$h^2 + 6^2 = 10^2$$，即$$h^2 = 100 - 36 = 64$$，解得$$h = 8$$m；答：电线杆的高度为8m。4.能构成直角三角形，理由如下：计算得：$$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$，$$c^2 = 25^2 = 625$$，∴ $$a^2 + b^2 = c^2$$，根据勾股定理的逆用（后续课时学习），可知该三条线段能构成直角三角形；答：能构成直角三角形，因为两条较短边的平方和等于最长边的平方。1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点)
2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点)
学习目标
勾股定理
如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中， Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以 △ ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1 ，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积.
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
勾股定理的认识及验证
1
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
1.观察图 (1) ，并填写：
S1 = _____ 个单位面积；
S2 = _____ 个单位面积；
S3 = _____ 个单位面积。
2.观察图 (2) ，并填写：
S1 = _____ 个单位面积；
S2 = _____ 个单位面积；
S3 = _____ 个单位面积。
9
9
18
9
16
25
C
S3
a
A
B
A
C
B
S1
S2
S3
S2
S1
b
c
b
a
c
(1)
(2)
3. 图 (1) ， (2) 中三个正方形面积之间有怎样的关系 用它们的边长 a ，b，c 表示：
a2 + b2 = c2
4. 如图，在几何绘图软件中任意画一个 Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 度量△ABC 的三边长 a ，b，c，猜想 a ，b ，c 有怎样的关系。
GGB 验证猜想
猜想 a2 + b2 = c2
猜想 如图，在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a ，AC = b ，则 a2 + b2 = c2.
a
b
c
A
B
C
a
b
H
G
E
F
a
b
c
c
c
c
b
b
a
a
C1
A1
B1
D1
证明 取 4 个与 Rt △ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如上图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH .
由题意得 A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c .
因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°，
∠A1B1E = ∠D1A1H，
所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°，
∠D1A1B1 = 90°.
同理：∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°.
则四边形 A1B1C1D1，是边长为 c 的正方形.
分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1，的面积为 S正方形EFGH 和 ，
化简，得 a2 +b2 = c2.
则 S正方形EFGH - 4S△ABC =
即 ( a +b )2 - 4× ab = c2.
在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理。
（a、b、c 为正数）
勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
公式变形：
a
b
c
知识要点
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
勾
股
勾2 + 股2 = 弦2
数学小历史
上面的动图形象地验证了勾股定理，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！
定理验证
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧。
a
b
c
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形。
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧。
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab,
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”。
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得：
欧几里得证明勾股定理
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入图
拓展知识
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ ABC 中，两直角边 AC = 5，
BC = 12.求：(1) AB 的长；
(2) 斜边上的高 CD 的长。
解 (1) 在Rt△ ABC 中，
AB 2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169 . 则 AB = 13.
(2) ∵ S△ABC = AC×BC = AB×CD ,
∴
2
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D
1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为(　　)
A．10 B．5 C．9.6 D．4.8
C
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2．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　)
A．3 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．12 cm2
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B
4．[2025成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．
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5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________．
1
6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是(　　)
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【答案】A
7．如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c.把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处(如图)．
(1)S△ADC＝_________，S△AB′C′＝_________，
S△ACC′＝____________，S四边形CDB′C′＝
_______________________________
(用与a，b，c有关的代数式表示)；
(2)由(1)的结论证明勾股定理：a2＋b2＝c2；
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(3)若a＋b＝7，c＝5，求△ADC的面积．
2或18
8. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，若BD＝6，则CD＝________．
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9. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，
PQ2为y(单位：km2)．如图②，
y关于x的函数图象与y轴交于
点C，最低点D(m，81)，且经
过E(1，225)和F(n，225)两点．
下列选项正确的是(　　)
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点(15，85)在该函数图象上
【点拨】如图，作PG⊥AB于点G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，连接PH，则由题意和图象可知PH2＝225.当点Q运动到点G时，PQ2最小，即PG2＝81，AG＝m，∴HG＝m－1.
在Rt△PGH中，由勾股定理，
得225＝81＋(m－1)2，解得m＝
13(负值已舍去)，故选项A错误；
当x＝n时，点Q运动到点B，连接PB，则PB2＝225＝PH2，∴PB＝PH.∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝m－1＝12.∴AB＝n＝13＋12＝25，故选项B错误；当x＝0，即点Q在A点时，连接PA，∴PQ2＝AP2＝AG2＋PG2＝132＋81＝250，∴点C的纵坐标为250，故选项C错误；
当x＝15时，点Q运动到点K，连接PK，则AK＝15，∴GK＝AK－AG＝2.∴PK2＝KG2＋PG2＝4＋81＝85.∴点(15，85)在该函数图象上，故选项D正确．故选D.
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【答案】D
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有
a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论

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