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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.3.2第1课时菱形的性质第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版数学八年级下册19.3.2第1课时菱形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________一、选择题（每题10分，共30分）1.下列关于菱形的性质，说法错误的是（）A.菱形的对边平行且相等B.菱形的四条边都相等C.菱形的对角线互相平分且相等D.菱形的对角线互相垂直2.已知菱形ABCD的边长为5cm，一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为（）A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm3.菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC=60°，边长为4，则OA的长为（）A. 2 B. 4 C. √3 D. 2√3二、填空题（每题10分，共30分）1.菱形的一个内角为120°，则它的邻角为________°。2.菱形的对角线长分别为8cm和6cm，则该菱形的边长为________cm，面积为________cm 。3.菱形的对角线互相垂直平分，若一条对角线长为10，另一条对角线长为8，则菱形的周长为________。三、解答题（40分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6。求证：AB=BC=CD=DA，并求菱形ABCD的面积。（要求：利用菱形的性质进行证明，步骤完整，逻辑清晰）参考答案：一、选择题：1.C 2.A 3.A二、填空题：1. 60 2. 5，24 3. 4√41三、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA（菱形的四条边都相等）。∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），AO= AC，BO= BD。∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3。在Rt△AOB中，AB=√(AO +BO )=√(4 +3 )=5，即菱形的边长为5。菱形ABCD的面积= ×AC×BD= ×8×6=24（菱形面积等于两条对角线乘积的一半）。学习目标
1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系，探索并证明菱形的性质定理. (重点)
2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. (难点)
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
有一个角是直角
菱形的性质
1
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频：
点击视频开始播放←
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边形数量
有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手
中的图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，
∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证明猜想 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
性质1 菱形的四条边相等.
性质2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
知识要点
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
典例精析
例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴ AE＝AF.
归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵ AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵ AD＝BA，∴△AOD≌△BEA.
∴ AO＝BE.
例3 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= BD·AO + BD·CO
= BD·(AO + CO) = BD·AC = ab.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 已知某菱形的两条对角线长分别为 a ，b ，
求该菱形的面积，
菱形的面积
2
例5 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30.
∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
而菱形两组对边的距离相等，
∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
∴ 13h＝120，解得 h＝ .
A
B
C
D
O
菱形的面积计算有如下方法：
① 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积；
② 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
③ 两条对角线长度乘积的一半．
方法归纳
例6 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的
度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求：
(1) 两条对角线的长度；
(2) 菱形的面积．
解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC +∠BAD = 180°.
∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2，
∴∠ABC = ×180° = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°.
∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm.
∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm.
∴ BD = 2OB = cm.
= ×2× = （cm2）.
(2) S菱形ABCD = AC BD
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C
1. 如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(　　)
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AF
D．∠AEB＝∠AFD
C
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2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．6
B．12
C．24
D．48
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3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，以OA为边作菱形AOBC，则点C的坐标为______________．
4．[2025泸州]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.
求证：AF＝CE.
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5．[2025泸州]矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角相等
A
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A
6. 晓晓家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，其示意图如图所示，测得AB＝10 cm，BD＝
16 cm，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，则OH的长为(　　)
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
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7．如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是________．
5
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为________．
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【点拨】如图，取AD的中点M ′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.易知MP＋PN的最小值为线段M′N的长，易得M′N＝1.
【点易错】解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性．利用对·称·找·点·是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法．
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【答案】B
【点拨】如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，OB＝OD，OC＝OA.∵E为AD边的中点，∴DE＝2.∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2.∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF.又∵∠DFE＝
∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC.∴BF＝
BC＝4.∴BD＝BF＋DF＝4＋2＝6.
∴OB＝OD＝3.
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【答案】B
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角

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