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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）20.3.2用样本方差估计总体方差第20章数据的初步分析授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版数学八年级下册20.3.2用样本方差估计总体方差练习题班级：________姓名：________得分：________一、选择题（每题10分，共30分）1.下列关于用样本方差估计总体方差的说法，正确的是（）A.样本方差一定等于总体方差B.样本方差是总体方差的估计值，样本容量越大，估计越准确C.样本方差与总体方差没有关联D.样本方差一定大于总体方差2.为了估计一批零件长度的方差，随机抽取20个零件，计算出样本方差为4，则这批零件长度的总体方差的估计值为（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 203.某校随机抽取两个班各50名学生的数学成绩，计算出两个班的样本方差分别为12和18，则下列说法正确的是（）A.第一个班的学生成绩波动更大B.第二个班的学生成绩波动更大C.两个班的学生成绩波动一样大D.无法判断哪个班的成绩波动更大二、填空题（每题10分，共30分）1.用样本方差估计总体方差的前提是：样本必须是________抽取的，这样样本才能较好地反映总体的特征。2.随机抽取某班10名同学的语文成绩，计算出样本方差为9，则估计该班全体同学语文成绩的总体方差为________。3.若两组数据的样本方差分别为$$s_1^2=5$$和$$s_2^2=3$$，则方差较小的一组数据的波动________（填“更大”或“更小”）。三、解答题（40分）某农场要估计一批小麦的株高方差，随机抽取10株小麦，测量其株高（单位：cm）如下：75，78，80，82，76，79，81，77，83，78。（1）计算这10株小麦株高的样本平均数；（2）计算这10株小麦株高的样本方差；（3）估计这批小麦株高的总体方差，并说明样本方差与总体方差的关系。参考答案：一、选择题：1.B 2.B 3.B二、填空题：1.随机2. 9 3.更小三、解：（1）样本平均数$$\bar{x}$$=（75+78+80+82+76+79+81+77+83+78）÷10=790÷10=79（cm）答：这10株小麦株高的样本平均数为79cm。（2）样本方差$$s^2$$=$$\frac{1}{10}[(75-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(82-79)^2+(76-79)^2+(79-79)^2+(81-79)^2+(77-79)^2+(83-79)^2+(78-79)^2]$$=$$\frac{1}{10}[16+1+1+9+9+0+4+4+16+1]$$=$$\frac{1}{10}×61$$=6.1答：这10株小麦株高的样本方差为6.1。（3）估计这批小麦株高的总体方差为6.1。关系：样本方差是总体方差的估计值，当样本是随机抽取且样本容量适当时，样本方差会接近总体方差，样本容量越大，估计结果越准确。学习目标
1. 加深理解求一组数据的方差的计算方法 ，学会如何借助样本的方差来估计总体方差.（重点）
2.深化抽样思想在统计中的应用，感受对样本数据的分析在数据分析的重要性.（难点）
为了选拔一名同学参加某市中学生射击竞赛，某校对甲、乙两名同学的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射靶 10 次.
=
7
7
6
8
6
7
8
7
5
9
乙成绩
（环数）
=
5
7
10
9
5
6
8
6
7
7
甲成绩
（环数）
x甲
x乙
7
7
我们应选甲还是乙，用你前面学的知识解决一下？
中位数
众数
7
7
7
7
引例：某篮球队对运动员进行 3 分球投篮成绩测试，每人每天投 3 分球 10 次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为 x甲 = 8，方差为 .
用样本方差估计总体方差
1
(1) 求乙进球的平均数和方差；
(2) 现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加 3 分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
例1 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1) 哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2) 哪个品种的产量较稳定？
典例精析
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1) 哪个品种平均每公顷的产量较高？
∴ 甲、乙两个品种平均每公顷的产量一样高.
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(2)哪个品种的产量较稳定？
(1) 在解决实际问题时，方差的作用是什么？
知识要点
　　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数
相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的
波动情况．
(2) 运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
反映数据的波动大小．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 可用样本方差估计总体方差.
一般地，在平均数相同的情况下,方差越大,则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大·
在样本容量、平均数相同的情况下,离差平方和越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大.
在两组数据的平均数相差较大，以及两组数据的单位不同时，不能直接通过比较方差来说明它们的离散程度.
知识要点
例2 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位： cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
解：　　　
(585+596+610+ 598+612+597+604+600+613+601)
= 601.6(cm)， s2甲 ≈ 65.84；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
= 599.3(cm)，s2乙 ≈ 284.21．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但乙队员和甲队员的成绩相比，乙队员的成绩比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
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甲
1．[2025兰州]射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是________．(填写“甲”或“乙”)
甲 乙
平均成绩x/环 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
2．[2025黄山期末]某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为40人，平均分均为91分(满分100分)，甲班的中位数为87分，乙班的中位数为91分，甲班的方差为4.9，乙班的方差为3.2，规定成绩大于或等于90分的为优异．下列说法正确的是(　　)
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班的优异成绩与乙班一样多
C．乙班的成绩比甲班的成绩稳定
D．小亮得90分将排在乙班的前20名
【点拨】甲班的方差为4.9，乙班的方差为3.2，故乙班的成绩更稳定，故A选项不符合题意，C选项符合题意；成绩大于或等于90分的为优异，甲班的中位数为87分，乙班的中位数为91分，则乙班成绩优异的人数比甲班多，故B选项不符合题意；
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因为乙班的中位数为91分，所以小亮得90分将排在乙班的后20名，故D选项不符合题意．
【答案】C
3．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队的5名选手的决赛成绩如下.
平均数 中位数 众数 方差
初中代表队 a 85 b s初中2
高中代表队 85 c 100 160
(1)计算a，b，c的值．
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
【解】由表格可知初中代表队与高中代表队的成绩的平均数相同，初中代表队的成绩的中位数比高中代表队高，故初中代表队的决赛成绩较好．
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(3)计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
4. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x< 7.30 7.30≤x< 7.60 7.60≤x< 7.90 7.90≤x< 8.20 8.20≤x≤
8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
【解】根据题意得a＝
24－4－2－9－2＝7，
补全频数分布直方图如图．
(2)填空：b＝________，c＝________；
7.67
7.79
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
【解】∵甲基地水体pH值的方差为0.10，乙基体水体pH值的方差为0.13，0.10<0.13，∴甲基地水体的pH值更稳定．
(4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
【解】甲基地水体pH值的日变化量：8.26－7.27＝0.99，
乙基地水体pH值的日变化量：8.21－7.11＝1.1，
∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求．
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根据方差做决策
方差的作用：反映数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差

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