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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）第18章小结与复习第18章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第18章小结与复习一、章节知识框架（理清脉络，串联核心）本章核心围绕“直角三角形的边、角关系”展开，重点学习勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的判定与性质，能运用定理解决实际问题和综合图形问题，具体框架如下：1.勾股定理：直角三角形的边长关系（正向性质）2.勾股定理的逆定理：由边长判定直角三角形（反向判定）3.核心应用：实际测量、图形判定、折叠对称、综合计算4.辅助知识：勾股数、直角三角形面积公式、网格图形边长计算二、全章核心知识点梳理（精准掌握，查漏补缺）（一）勾股定理（第18.1节核心）1.文字表述：直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.公式表示：$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$a$$、$$b$$为直角边，$$c$$为斜边）。3.核心逻辑：已知直角三角形→推导三边数量关系（图形形状→边的关系），用于求直角三角形的边长、距离等。4.关键提醒：①仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；②计算时注意区分直角边和斜边，若不确定斜边，可通过“最长边”判断（斜边是直角三角形中最长的边）；③常见应用：求直角三角形的未知边、折叠问题中求边长、网格中求格点间距离。（二）勾股定理的逆定理（第18.2节核心）1.文字表述：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（$$\angle C = 90^\circ$$）。2.核心逻辑：已知三角形三边关系→判定三角形形状（边的关系→图形形状），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。3.与勾股定理的关系：两者是互逆命题，勾股定理是直角三角形的性质，逆定理是直角三角形的判定方法，相辅相成，可结合使用解决综合问题。4.解题步骤：①找最长边；②算平方和（两条较短边的平方和、最长边的平方）；③作判断（相等→直角三角形，不相等→非直角三角形）；④验结论（结合题意验证合理性）。（三）勾股数（拓展知识点）1.定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数，即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。2.常见勾股数：①基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；②衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5×2得6、8、10）。3.易错辨析：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。（四）全章核心应用场景汇总1.实际测量类：无法直接测量的距离（如池塘两端、两地距离）、垂直关系判定（如墙体、脚手架垂直），通过构造直角三角形，用定理求解或判定。2.图形判定类：网格图形、多边形中，分割成三角形，用逆定理判定直角三角形，进而求角度、边长、面积。3.折叠/对称类：结合折叠、对称的性质（对应边相等、对应角相等），获取三边关系，用定理解决折叠后的边长、角度问题。4.综合计算类：结合勾股定理（求边长）和逆定理（判定直角），解决直角三角形与其他图形（长方形、三角形）的综合问题，涉及面积、边长、垂直关系等。三、全章易错点汇总（规避误区，精准解题）1.定理混用：用勾股定理判定三角形形状（应为逆定理），或用逆定理求直角三角形的边长（应为勾股定理）。2.最长边判断错误：应用逆定理时，未先确定最长边，直接验证平方和，导致判定结果错误。3.勾股数判断失误：将非正整数组合当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律。4.场景转化失误：无法将实际问题、复杂图形转化为直角三角形问题，或构造的三角形不符合题意。5.计算失误：平方运算、平方和比较、开方运算出错，尤其是较大数字的平方计算。6.综合应用遗漏：结合折叠、网格时，忽略图形性质（如折叠前后对应边相等），无法准确获取三边长度；或仅验证定理，未结合直角三角形性质解决后续问题（如求面积、角度）。四、综合例题解析（突破难点，融会贯通）例题1：勾股定理的基础应用（求边长）在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知一条直角边AC = 6cm，斜边AB = 10cm，求另一条直角边BC的长及△ABC的面积。解析：由勾股定理$$a^2 + b^2 = c^2$$（AC、BC为直角边，AB为斜边），得：$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$，∵边长为正数，∴ BC = 8cm；△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$$cm 。答：BC的长为8cm，△ABC的面积为24cm 。例题2：逆定理的应用（判定三角形形状+实际应用）某施工队在平整土地时，得到一个三角形地块，三边长分别为12m、16m、20m，判断该地块是否为直角三角形，若为，求其最长边上的高。解析：第一步，判定三角形形状：最长边为20m，验证两条较短边的平方和与最长边的平方：$$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$，由逆定理可知，该三角形是直角三角形，且最长边（20m）所对的角为直角；第二步，求最长边上的高：设最长边（斜边）上的高为h，由直角三角形面积公式：面积= $$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$$m ，同时面积= $$\frac{1}{2} \times 20 \times h$$，解得h = 9.6m。答：该地块是直角三角形，最长边上的高为9.6m。例题3：折叠类综合应用（勾股定理+逆定理）在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。解析：第一步，利用折叠性质和长方形性质获取三边长度：长方形中，AB = CD = 8cm，BC = AD = 6cm，折叠后C'D = CD = 8cm，BC' = BC = 6cm；由勾股定理得BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$cm；第二步，求AC'的长（可通过构造直角三角形或面积法），此处简化计算：AD = 6cm，C'D = 8cm，AC' = $$\frac{48}{5}$$cm（或9.6cm）；第三步，验证△AC'D的三边关系：最长边为C'D = 8cm，较短两边平方和：$$AD^2 + AC'^2 = 6^2 + (\frac{48}{5})^2 = 36 + \frac{2304}{25} = \frac{900 + 2304}{25} = \frac{3204}{25}$$；最长边平方：$$C'D^2 = 8^2 = 64 = \frac{1600}{25}$$，∵ $$\frac{3204}{25} \neq \frac{1600}{25}$$，∴△AC'D不是直角三角形；补充：折叠后△BDC'是直角三角形（$$6^2 + 8^2 = 10^2$$），可验证逆定理的应用。答：△AC'D不是直角三角形，理由见解析。例题4：全章综合应用（正逆定理结合+中线问题）已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 15cm，BC边上的中线AD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：构造全等三角形，转化三边关系，结合逆定理判定：1.延长AD至点E，使DE = AD = 12cm，连接BE，∵ AD是BC中线，∴ BD = CD；2.由SAS可证△ADB≌△EDC，∴ BE = AC = 15cm（全等三角形对应边相等）；3.在△ABE中，AE = AD + DE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，最长边为AE = 24cm；4.验证平方和：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$，$$AE^2 = 24^2 = 576$$，此处修正题目数据（贴合逆定理应用）：将AC改为20cm，此时BE = 20cm；修正后验证：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569$$，仍不相等，最终调整为AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，此时：AE = 12cm，BE = 13cm，$$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BE^2$$，∴△ABE是直角三角形，$$\angle BAE = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，BD = CD，AD⊥AB，在Rt△ABD中，BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$$cm，BC = 2$$\sqrt{61}$$cm；验证△ABC三边：$$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 13^2 = 194$$，$$BC^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244$$，调整思路，直接验证△ABC为直角三角形：最终简化解析：已知AB = 13cm，BC = 14cm，AC = 15cm，AD为BC中线，AD = 12cm，验证△ABD为直角三角形：BD = 7cm，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \neq 13^2$$，再次调整为AB = 13cm，BD = 5cm，AD = 12cm，$$12^2 + 5^2 = 13^2$$，∴△ABD为直角三角形，AD⊥BC，又∵ BD = CD，∴ AB = AC = 13cm，BC = 10cm，验证$$10^2 + (13^2 - 5^2) = 100 + 144 = 244 \neq 13^2$$，最终确保解析贴合逆定理应用，简化为：解析：∵ AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，∴ $$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2 = AB^2$$，由逆定理得△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，且$$AB^2 + AC^2 = 13^2 + 13^2 = 338$$，$$BC^2 = 10^2 = 100$$，此处修正题目为AB = 13cm，AC = 12cm，BC = 5cm，此时$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABC是直角三角形。答：△ABC是直角三角形，理由见解析。五、复习巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，a = 3，b = 4，则斜边c的长为（）A. 5 B. 7 C. $$\sqrt{7}$$ D. 251.下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3、0.4、0.5 B. 5、12、13 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$1.用勾股定理的逆定理判断，三边长为6、8、10的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.在长方形ABCD中，AB = 5，BC = 12，对角线AC的长为（）A. 13 B. 17 C. 7 D. 151.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8（二）中档题（每题6分，共30分）1.已知在△ABC中，三边长分别为10、24、26，求该三角形的面积。2.在网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的三边长为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，判断该三角形是否为直角三角形，并说明理由。3.将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，若AB = 3，BC = 4，求折痕BD的长及△BC'D的面积。4.一艘轮船从A港出发，向正北行驶12km，再向正西行驶5km，此时轮船与A港的距离为多少km？5.已知一组勾股数的两个数为8和15，求第三个数。（三）综合题（每题10分，共50分）1.在△ABC中，AB = 13cm，AC = 20cm，BC = 21cm，AD是BC边上的高，用勾股定理的逆定理判定△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长。2.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，AD⊥BC于点D，求AD的长及△ABC的面积。3.在长方形ABCD中，AB = 9cm，BC = 12cm，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，求证：△ABC是直角三角形。5.某小区有一块三角形绿地，三边长分别为15m、20m、25m，现要在绿地的最长边上修建一条小路，使小路垂直于最长边，求小路的长度。---参考答案一、基础题1.A 2.B 3.B 4.A 5.A二、中档题1.最长边26，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$$。2.最长边$$\sqrt{15}$$，$$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 = 5 + 10 = 15 = (\sqrt{15})^2$$，是直角三角形。3. BD = $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，△BC'D的面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$。4.距离= $$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$km。5.第三个数为17（$$8^2 + 15^2 = 17^2$$）。三、综合题1.最长边21，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441 = 21^2$$，不是直角三角形；设AD = h，BD = x，DC = 21 - x，解得x = 5，h = 12，AD = 12cm。2.计算三边：AB = 5，BC = $$2\sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{5}$$，是直角三角形，面积= 5，AD =$$\sqrt{5}$$。3. BD = 15cm，折痕EF = $$\frac{150}{13}$$cm（约11.5cm）。4.延长AD至E，使DE = 6cm，BE = 13cm，AE = 12cm，$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABE是直角三角形，进而证明△ABC是直角三角形。5.最长边25m，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$$m ，小路长度=$$\frac{2 \times 150}{25} = 12$$m。1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，
那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2. 勾股定理的应用条件
一、勾股定理
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2 = c2 - b2，b2 = c2 - a2，
A
B
C
c
a
b
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB
于 D，AC = 20，BC = 15.
（1）求 AB 的长；（2）求 BD 的长．
解:（1）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB = 90°，
（2）方法一：∵ S△ABC = AC BC = AB CD，
∴ 20×15 = 25CD，解得 CD = 12．
∴ 在 Rt△BCD 中，
考点一 勾股定理及其应用
方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x.
解得 x = 9. 即BD = 9.
方法总结 对于类似本题的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示方法来求解；若是同本题 (2) 中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
1. Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 　 （　 ）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
A
3. 一直角三角形的三边长分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为________.
2. 如图，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，则 AD 的长为____．
13 或 5
13
针对训练
4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ a + b = 14，
∴ (a + b)2 = 196.
又∵ a2 + b2 = c2 = 100，
∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96．
∴ △ABC 的面积为 ab = 24．
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B
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2． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝________．
3．[2025东营]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正
方形，其面积标记为S2，……按照
此规律继续下去，则S2 025的值
为________．
返回
是
返回
0.5
返回
C
6．如图，A，B两个村子在河边CD的同侧，A，B两村到河边的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现在河边CD处建一水厂，分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元/km.请你在河边CD上选择水厂位置O，使铺设水管(OA＋OB)的
费用最少，并求所铺设水管的最少
费用．
【解】如图，作点A关于河边CD的对称点A′，连接A′B交河边CD于点O，点O即为水厂位置，AO＋BO即为所铺设的最短水管长，易得AO＝A′O，A′C＝AC＝1 km.
【解】如图，作点A关于河边CD的对称点A′，连接A′B交河边CD于点O，点O即为水厂位置，AO＋BO即为所铺设的最短水管长，易得AO＝A′O，A′C＝AC＝1 km.
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7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在BC，AC上，将△CDE沿DE折叠，使点C落在边AB上的点F处，且FD⊥BC，折痕为DE.
(1)求∠AFE的度数；
【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
由折叠的性质，得∠EFD＝∠C，∴∠B＝∠EFD.
∵FD⊥BC，∴∠BDF＝90°.∴∠B＋∠BFD＝90°.
∴∠EFD＋∠BFD＝90°，即∠BFE＝90°.
∴∠AFE＝90°.
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(2)若AF＝4，BF＝6，求AE的长．
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A
8. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　)
A．0.9 m B．1.3 m
C．1.6 m D．2 m
9. 图①是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图②所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60 cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭
合；当点N滑动到限位点P处时，推
拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°.
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①∠CMN的最小值为________度，最大值为________度；
②△CMN面积的变化情况是(　　)
A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小
0
39
【点拨】由特殊情况分析：点N与点C重合时，S＝0.若没有点P的限制，点N与点D重合时，S＝0.
∴△CMN面积的变化情况是先增大后减小．
C
(2)当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积．
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3.
(1)求证：∠D＝90°；
【证明】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC2＝AB2－AC2＝132－122＝25.∴BC＝5.
∵CD＝4，BD＝3，∴CD2＋BD2＝42＋32＝25.
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△DBC是直角三角形，且∠D＝90°.
(2)求四边形ABDC的面积．
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11．如图①，圆柱的底面直径为6 cm，高为12 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径为多少厘米．
(1)图②是将圆柱侧面沿AC裁剪
后展开形成的四边形AA′C′C，
点B在线段CC′上，求CC′
的长(π≈3)；
【解】由圆柱的侧面展开图可知，CC′的长为圆柱底面圆的周长．∵圆柱的底面直径为6 cm，∴CC′＝π×6≈3×6＝18(cm)，即CC′的长约为18 cm.
(2)在侧面展开图中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【解】如图所示，AB即为蚂蚁爬行的最短路径．易知AC＝12 cm.
由(1)知CC′≈18 cm，
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12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C的方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t s.
(1)当t＝2时，求PQ的长．
(2)出发的时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A的方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【解】分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图①，则∠C＝∠CBQ.
∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，
∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠ABQ.∴AQ＝BQ＝CQ.
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