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(共24张PPT)
21.3.3 正方形
1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？
？
知识回顾
2.菱形的性质：
（1）角：菱形的对角相等．
（2）边：菱形的四条边都相等．
（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
O
D
新知导入
除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？
正方形　
下面开始本节课的学习
探究新知
除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？
有一个直角
一组邻边相等
矩形
？
？
正方形
菱形
平行四边形
探索新知
猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交与点 O.
求证：AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形 ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
探索新知
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看看你能发现什么？
A
B
D
C
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看看你能发现什么？
A
B
D
C
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
例 5
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
（SAS）
归纳总结
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
A
例2　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.
(1)求证：BF=DE；
证明　在正方形ABCD中，
AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴BF=DE.
例2　如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.
(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由.
解　当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，AF⊥AC，
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
归纳总结
证法2：如图.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.
∵BE为∠ABC的平分线,EF⊥AB,EG⊥BC,
∴∠1=∠2=45°,EF=EG.
∴∠3=∠4=45°,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴BF＝EF,BG＝EG.
∴BF=EF=EG=BG,∴四边形EFBG是菱形.
又∠FBG=90°,∴菱形EFBG是正方形.
例题精析
A
D
B
C
E
F
G
1
2
3
4
如图,Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D,∠B=90°,过点D分别作DE⊥BA于点E,DF⊥BC于点F.
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF=6,C为BF的中点,求AE的长.
对应训练
A
B
C
F
D
E
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是
A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
√
课堂练习
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；
③AC=BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的组合是　　　 (只填写序号).
②③和①④
课堂练习
正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
课堂小结
1.如图，在直角三角形中，∠C=90 ，∠A,∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.
求证：四边形CEDF 为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∴∠DEC=∠DFC=90 .
∵∠C=90 ,
∴四边形CEDF为矩形.
A
B
C
E
F
D
G
∵DE⊥AC，DF⊥CB,
拓展提升

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