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2026年中考一轮复习
5.1 圆的有关概念及性质
圆
第5章
“—”
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
1．与圆的有关概念
（1）圆的定义：
①在平面内，线段OA绕它________的一个端点O旋转________，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O叫作________，线段OA叫作________．
②圆可以看成是所有到________的距离等于________的所有点的集合．
固定
一周
圆心
半径
定点
定长
（2）与圆有关的概念：
①弦：连接圆上任意两点的________叫作弦，经过圆心的弦叫作________．直径是圆中最长的________．
②弧：圆上任意两点间的部分叫作________，简称________；圆的任意一条________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作________；大于半圆的弧称为________，小于半圆的弧称为______．
④等圆：能够________的两个圆叫作等圆．
⑤等弧：在同圆或等圆中，能够________的弧叫作等弧．
线段
直径
弦
圆弧
弧
直径
半圆
优弧
劣弧
重合
重合
2．与圆的有关的角
（1）圆心角：顶点在________的角叫作圆心角．
（2）圆周角：顶点在________，并且两边和圆________的角是圆周角．
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于这条弧所对的圆心角的________；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
（4）圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是________；90°圆周角所对的弦是________．
圆心
圆上
相交
相等
一半
相等
直角
直径
3．垂径定理
（1）圆是轴对称图形，任何一条____________直线都是圆的对称轴．
（2）垂直于弦的直径平分______，并且平分________________．
还可以概括为：如果有一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其余三个结论．
直径所在的
弦
弦所对的两条弧
4．圆的旋转不变性：
（1）圆是中心对称图形，对称中心是________．
（2）弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别________．
圆心
相等
5．圆内接四边形的性质：
（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在________上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的________．
（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角________；圆内接四边形的一个外角等于________．
同一个圆
外接圆
互补
内对角
6．方法技巧
（1）利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解，由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．
（2）涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直平分公共弦．
（3）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
A
B
10
A
A 基础达标练
D
B
A
B
B 强化提升练
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.1 圆的有关概念及性质
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
1．与圆的有关概念
（1）圆的定义：
①在平面内，线段OA绕它________的一个端点O旋转________，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O叫作________，线段OA叫作________．
②圆可以看成是所有到________的距离等于________的所有点的集合．
（2）与圆有关的概念：
①弦：连接圆上任意两点的________叫作弦，经过圆心的弦叫作________．直径是圆中最长的________．
②弧：圆上任意两点间的部分叫作________，简称________；圆的任意一条________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作________；大于半圆的弧称为________，小于半圆的弧称为________．
④等圆：能够________的两个圆叫作等圆．
⑤等弧：在同圆或等圆中，能够________的弧叫作等弧．
2．与圆的有关的角
（1）圆心角：顶点在________的角叫作圆心角．
（2）圆周角：顶点在________，并且两边和圆________的角是圆周角．
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于这条弧所对的圆心角的________；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
（4）圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是________；90°圆周角所对的弦是________．
3．垂径定理
（1）圆是轴对称图形，任何一条________直线都是圆的对称轴．
（2）垂直于弦的直径平分________，并且平分________．还可以概括为：如果有一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其余三个结论．
4．圆的旋转不变性：
（1）圆是中心对称图形，对称中心是________．
（2）弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别________．
5．圆内接四边形的性质：
（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在________上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的________．
（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角________；圆内接四边形的一个外角等于________．
6．方法技巧
（1）利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解，由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．
（2）涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直平分公共弦．
（3）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
■考点一 圆的有关概念及性质
◇典例1：（2026·湖南长沙·一模）如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ 　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________．
2．（2025·广西·中考）如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
■考点二 垂径定理及其计算
◇典例2：（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__．
2．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
■考点三 圆周角定理与圆内接多边形
◇典例3：（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）．
2．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
A 基础达标练
1．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·四川广元·中考）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北武汉·中考）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
4．（2026·福建三明·一模）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________．
6．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______．
7．（2026·安徽合肥·一模）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________．
8．（2026·浙江杭州·一模）如图，四边形内接于，，，则________ ．
9．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
B 强化提升练
10．（2026·福建厦门·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点．
(1)求证：；
(2)当时，求的半径；
(3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.1 圆的有关概念及性质
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
1．与圆的有关概念
（1）圆的定义：
①在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径．
②圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的所有点的集合．
（2）与圆有关的概念：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径．直径是圆中最长的弦．
②弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
④等圆：能够重合的两个圆叫作等圆．
⑤等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫作等弧．
2．与圆的有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角．
（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
（4）圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径．
3．垂径定理
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以概括为：如果有一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其余三个结论．
4．圆的旋转不变性：
（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
（2）弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
5．圆内接四边形的性质：
（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆．
（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的一个外角等于内对角．
6．方法技巧
（1）利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解，由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．
（2）涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直平分公共弦．
（3）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
■考点一 圆的有关概念及性质
◇典例1：（2026·湖南长沙·一模）如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质求出 的度数，再利用圆的半径相等得到 ，进而求出 的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出 的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
◆变式训练
1．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________．
【答案】/50度
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
2．（2025·广西·中考）如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用证明全等即可；
（2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求．
证明：（1）的半径为，
，
，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
■考点二 垂径定理及其计算
◇典例2：（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以．
解：连接，
是的直径，弦于E，，
，
在， ，，，
，
．
◆变式训练
1．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__．
【答案】10
【解析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长．
解：设圆的半径长是r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的直径．
故答案为：10．
2．（2026·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案．
证明：（1）是直径，
，
，
∴，
，
∵为半径，
；
（2），，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
■考点三 圆周角定理与圆内接多边形
◇典例3：（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，由圆周角定理的推论得，由切线的性质得，可求，再求出，然后根据等边对等角可得答案．
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴．
∵过点C作的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
◆变式训练
1．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）．
【答案】
【解析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可．
解：如图，连接和，
点，，，均在上，
，
，
的长为．
2．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明；
（2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可．
证明：（1）∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴；
（2），理由如下：
∵，即
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴．
A 基础达标练
1．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查圆的性质、勾股定理的逆定理、在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直等，熟练掌握各个性质是解题的关键．
先连接，根据条件得出直径，半径，再根据勾股定理的逆定理求出为直角三角形，最后根据在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直得出点、点重合，再求解即可．
解：连接，
∵是的直径，弦交于点，，，
∴,
∴，
∴．
∵，，，
得：，
∴为直角三角形，．
∵，，
∴点、点重合，
∴．
故选：D．
2．（2025·四川广元·中考）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
只要证明，求出即可．
解：连接，如图，
是的弦，，
，
，
，
和所对的弧都为，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故选：B．
3．（2025·湖北武汉·中考）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设半径为R，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得．
故选：A．
4．（2026·福建三明·一模）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据圆周角定理计算出，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理即可求出；
解：∵，
，
，
，
，
．
5．（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________．
【答案】
【解析】本题考查垂径定理，弧长公式；连接，，先由垂径定理求出圆的半径，进而求出，从而求出的长度，再加上的长度即是该图形的周长．
解：连接，，如图所示，
设圆O的半径为r，则，
∵，
∴，
∵，过圆心点O，，
∴，
∵在中，
∴，解得：，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长度为，
∴该图形的周长是．
故答案为：．
6．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______．
【答案】
【解析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可．
解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设为，则，
∵，
∴，
∴，
∴这座圆形观景台的半径是．
7．（2026·安徽合肥·一模）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可．
解：∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
8．（2026·浙江杭州·一模）如图，四边形内接于，，，则________ ．
【答案】
【解析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，计算即可．
解：如图，连接、，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【解析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证；
（2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解．
证明：（1）∵，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
（2）如图，连接，过点作，垂足为．
∵在中，，，
∴根据勾股定理，，
∴．
在中，根据勾股定理，，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∵由（1）得，
∴，
∴，
∴，即，解得．
∴的半径为．
B 强化提升练
10．（2026·福建厦门·一模）如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点．
(1)求证：；
(2)当时，求的半径；
(3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见详解
【解析】（1）根据弧中点得到，根据平行线夹弧得到，即可得证；
（2）作于点M，连接， 则，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即可；
（3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得．
证明：（1）∵点F是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）作于点M，连接，如图，
∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径；
（3）．理由如下：
同（2），作于点M，连接，
由（2）知，，，，
∴，
设，则
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
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