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6.2.1向量的加法运算
一．选择题
1.（2025甘肃天水高一期中)如图,在平行四边形ABCD中,= (　　)
A. B.
C. D.
2.在边长为1的正方形ABCD中,||等于(　　)
A.0 B.1 C. D.3
3. 如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则等于(　　)
A. B. C. D.
4. 已知a,b是两个非零向量,则|a+b|与|a|+|b|的大小关系是(　　)
A.|a+b|>|a|+|b|
B.|a+b|<|a|+|b|
C.|a+b|≥|a|+|b|
D.|a+b|≤|a|+|b|
5. =(　　)
A. B.0 C. D.
6.已知向量a∥b,a与b都是非零向量,且|a|>|b|,则向量a+b的方向可能(　　)
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.与向量b的方向相反
7.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
8.在正六边形ABCDEF中,=(　　)
A. B. C. D.0
9.(多选题)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为(　　)
A.4 B.8 C.10 D.12
二．填空题
10.已知下列各式:①;②()+;③;④.其中结果一定为0的是　　　　.(填序号)
11.△ABC是正三角形,给出下列等式:
①||=||;
②||=||;
③||=||.
其中正确的有　　　　.(写出所有正确等式的序号)
12.已知|a|=3,|b|=4,则“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的　　　　
三．解答题
13.已知||=3,||=3,∠AOB=60°,求||.
14.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1);
(2).
15.(苏教版教材例题)在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定
16.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
17.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||.
参考答案
1.D　由向量加法的平行四边形法则得,.
故选D.
2.B　||=||=||=1.
3.B　,
故选B.
4.D　因为a,b是两个非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D正确.故选D.
5.B　=()+()=0+0=0.故选B.
6.A　∵非零向量a,b满足a∥b,且|a|>|b|,
∴a与b共线,它们的和的方向与a同向.
7.AC　∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,∴A,C正确.
8.D　如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则,
∴=0.故选D.
9.AD　因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4.因为a∥b,所以a,b方向相同或相反.当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12,当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.故选AD.
10.①④　①=0;
②()+=()+()=;
③;
④=()+()==0.
11.①③　对于①,||=||,||=||,∵||=||,①正确;
对于②,||=||,如下图所示,
以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD,由平面向量加法的平行四边形法则可得,显然||≠||,②错误;
对于③,以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则,以CA,CB为邻边作平行四边形ACBF,则.由图可知,||=||,即||=||,③正确.
12. .充分不必要条件　若向量a与b同向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=7.若向量a与b反向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=1,所以由“向量a与b共线”不能推出“|a+b|=7”.当|a|=3,|b|=4时,由“|a+b|=7”能推出“向量a与b同向”,所以“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.
13.解如图,作平行四边形OACB,
∵||=||=3,
∴四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
∵∠AOB=60°,∴AB=||=3.∴在Rt△OAD中,OD=,∴||=||=×2=3.
14.解(1).
(2)=0.
15.解如图,设表示水流的速度,表示渡船在静水中的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.
因为,所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,因为∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°.
所以渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.
16.证明因为,
所以.
又因为=0,所以.
17.解∵=0,∴.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,知四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°.
∴△ABD为正三角形.∴||=||=||=2||=,||=||=||=1.
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