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2025年宁波市高中数学竞赛试题
数学试题
2025年12月14日8：00-10：00
注意事项：
①本卷不得使用计算器：
②报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前15题）：
③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上
一、选择题（本题共3小题，每小题8分，共24分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，
不选、多选、错选均不得分)
1.已知圆C:x2+y2=2(r>0)和直线1：3x+4y-25=0,若圆C上存在三点到直线1的距离成公比为2
的等比数列，则r的最小值为
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图，已知△MBC满足AB⊥AC,LACB=于，D为线段BC中点，E为线段AC上的动点，记∠EDC=
O,将四边形ABDE沿着DE翻折成几何体C一A,B,DE.若在翻折过程中，总存在某一个位置使得B,C
⊥AE,则0的取值范围为
A(语，)
B.(0,)
c.(号)
D.(5,)
3.已知[x)表示不超过x的最大整数，则函数y=(x-[x)n号-n([-x刘+1)的值域为
A.（-o,lh2)
B.(（-o,ln)U[0,ln2)）
C.(-o,h]
D.(-.n]u[0.I2]
二、选择题Ⅱ（本题共3小题，每小题8分，共24分.每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要
求的，全部选对的得8分，选对但不全的得部分分，不选、有选错的均不得分)
4.已知数列{an}满足(a+1-a。-3)(a+1-2a)=0(n∈N),a1=1,则数列{a}中的项可能为
A.1945
B.2025
C.80
D.93
5.已知函数f(x)满足f(2cosx)+2f(-cosr-√3sinx)=sin2xr,则
A.(1)
B.f0)=-9
C.f(w3)=0
D.f(W2)=0
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6.如图，在一个底面边长为6，高为h的有盖正四棱锥容器内放入球0与球0'.若球0的半径为R,且与
正四棱锥容器的各个侧面和底面均相切，球O的半径为r,与球O相切，且与正四棱锥容器的两个侧面
和底面相切，则
A当h=4时，R=子
B.当R=√5时，h=35
C.当R=是时r=
D.当r=1时，R=2
三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分）
7.某校学生积极参加社团活动，高二年级共100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团
的学生有75名，则同时参加这两个社团的学生最少有名。
8.已知正实数x,y,满足x+8y=y,则(x+1)(y+1)的最小值为
g函数f)=min2压，x-30,其中min(a,.}=(公，a67
,若直线y=m与函数y=∫(x)的图象有三
个不同的交点A,B,C,则OA·O+O·O元+O元·OA的取值范围为
10.一颗质地均匀的骰子投掷三次，正面朝上的点数分别为x,3,3,则这三个数的方差不超过1的概率
为一
1l.在锐角△ABC中，tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=2025,则cosAcosBcosC=_
12设复数，满足++2马+24=1，则容+字
的最小值为
四、解答题1（本题共3小题，第13、14、15题依次为16、18、20分，共54分.）
13.已知抛物线C:y2=2x(p>0),过点Q(1,0)作斜率为p的直线与抛物线C相交于A,B两点.
()若Al=多√F+,求抛物线C的方程：
)求b+
1
的最大值
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