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2026年河南省新乡市九年级一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年小浪底水库的水位经历了显著的季节性变化, 从汛期前调水调沙后的低点到汛期末蓄水后的高点,上涨了约50米.若水位上涨50米记作+50米,则水位下降30米应记作（）
A. +30米 B. -30米 C. -50米 D. +50米
2.某个立体图形的展开图由两个相同的圆形和一个长方形组成,则该立体图形可能是（）
A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱
3.我国人工智能的算力持续突破,某超级计算机单次运算时间约为0.000000000058秒, 将0.000000000058用科学记数法表示为（）
A. 5.8 B. 5.8 C. 0.58 D. 5.8
4.化简-的结果是（）
A. -1 B. 1 C. D.
5.如图，用量角器测量一个五边形的航天精密零件的一个内角，则这个五边形的这个内角的度数是（）
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若OB-OC=1,则BD-AC=（）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”,现有分别与这四个楼有关的四首诗,甲从这四首诗中随机选取两首背诵,恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（ ）
A. 3 B. 1 C. 2 D.
10.某学习小组在“测量小灯泡的电阻”实验中, 根据实验数据, 得到了通过灯泡的电流 与灯泡两端的电压U的函数图象如图所示.已知电阻R=,功率P= U,则下列说法错误的是（）
A. 当0U时, 通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大
B. 当灯泡两端的电压为V时,通过灯泡的电流是A
C. 当通过灯泡的电流为A时,灯泡的电阻是
D. 当灯泡的功率为W时,灯泡两端的电压为V
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个比小的整数： ．
12.我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是 ．
13.不等式组的最大整数解为 ．
14.如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在中，，是边的垂直平分线，是边上一点，且，作，交于点，若点在直线上，且，则的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.按要求完成下列计算：
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1) 这次抽样调查的总人数是 ，扇形统计图中 ；
(2) 将频数分布直方图补充完整；
(3) 若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数．
18.(本小题9分)
如图，四边形是矩形，点的坐标为，轴，反比例函数的图象经过点．
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 若为边上一点，且，求点的坐标．
19.(本小题9分)
如图，在中，是的中点．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规，作，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 若为的中点，求证：四边形是平行四边形．
20.(本小题9分)
为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元．
(1) 求A，B两款草莓每箱的售价；
(2) 若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元．
21.(本小题9分)
如图，为测量某通信基站到公路的距离，技术人员在公路上的点处测得基站位于的北偏东方向，随后他沿正北方向驱车10千米到达点，在点处测得基站位于的北偏东方向，同时测得广播电视塔位于的北偏东方向．已知广播电视塔正好在基站的正北方向．
(1) 求基站到公路的距离（结果保留根号）；
(2) 求广播电视塔与基站的距离（结果保留根号）．
22.(本小题9分)
如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 求面积的最大值；
(3) 设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标．
23.(本小题12分)
综合与实践
在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线．
(1) 【动手操作】如图1，在边上截取，连接，则 ．
(2) 【深入探究】
①在图2中找出与相等的角，并说明理由；
②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）．
(3) 【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】70
13.【答案】0
14.【答案】
15.【答案】9或15
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
1000
32
【小题2】
解：组的频数为，
补全频数分布直方图如图所示；
【小题3】
解：（人），
答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人．

18.【答案】【小题1】
解：把点的坐标代入得：”，
解得：，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小题2】
解：过点A和点E分别作x轴的垂线，垂足分别为点G和点F；
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．

19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
又为的中点，
∴为的中位线，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形

20.【答案】【小题1】
解：设A款草莓每箱售价x元，B款草莓每箱售价y元．
根据题意得，解得
答：A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元．
【小题2】
解：设购买A款草莓m箱，总花费为W元，则购买B款草莓箱．
根据题意得
解得，其中m为非负整数．
，
∵
∴W随m的增大而减小，
当m取最大值10时，W取得最小值，
答：该单位最少需花费2000元．

21.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：如图，过P作交于D，作交于E，
∵，
∴，
∴，
∴千米，
在中，，千米，
∴千米；
∴基站P到公路的距离为千米．
【小题2】
（2）解：∵，，都是正北方向，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴千米，
在中，，千米，
∴千米；
∴千米．

22.【答案】【小题1】
解：将点和代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小题2】
解：设的解析式为，
将点和代入得：，
解得：，
∴的解析式为，
∴
∴，
∵点是线段上的动点
∴，
，
∵，开口向下，
∴当时，面积取最大值，
此时．
【小题3】
解：∵，
∴，
设，
①当为对角线时：
，解得：，
∴；
②当为对角线时：
，解得：，
∴；
③当为对角线时：
，解得：，
∴
综上：满足条件的点一共有3个，或或．

23.【答案】【小题1】
135°
【小题2】
解：①，理由如下：
在上截取，连接，
由（1）可知：，
∵，
∴，，即，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作，连接，
∵，
∴，，
由①可知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：①当点在线段上时，
作，在上截取，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
∴，
在中，，
∴；
②当点在线段的延长线上时，作，延长至点，使，连接，

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形．
，
综上所述，线段的长为或10．

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