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浙江杭州市萧山区高桥初中教育集团2025-2026学年第二学期3月素养调研九年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用科学记数法表示的数的原数是（ ）
A. B. C. D.
2.底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是（）
A. B. C. D.
3.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
5.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，，则点A到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
8.已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m.k）.且另有一点B（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（　　）
A. m＞k B. m＜k C. a（m-k）＜0 D. a（m-k）＞0
10.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，的延长线与边相交于点F，连接．若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：7a2-21ab= .
12.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（除颜色不同外，其余都相同）.若从中任意摸出一个球是白球的概率为，则n= .
13.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ．
14.如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E．若，求弧的长为 ．
15.已知实数，满足，则的最大值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解分式方程：
.
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，已知是的直径，弦于点E，．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），交于点M，与的延长线相交于点F，设．
(1) 则 ，（用含的代数式表示）；
(2) 当时，则 ．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+2)(3x-2)-2x(x+2)，其中．
19.(本小题10分)
如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，．
(1) 求证：．
(2) 将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数．
20.(本小题8分)
学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
(1) 补全频数直方图；
(2) 在扇形统计图中，“”这组的百分比 ；
(3) 抽取的名学生测试成绩的中位数是 分，其中“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89．
(4) 若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率．
21.(本小题8分)
如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1) 分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
(2) 求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，点均在上，连接，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
23.(本小题9分)
二次函数的图象经过点，点．
(1) 若，求抛物线的顶点坐标；
(2) 若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3) 当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
24.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．
(1) 当AB＜AD时，
①求证：BE＝CD，
②猜想∠BDF的度数，并说明理由．
(2) 若时，求 tan∠ CDF的值（用含k的代数式表示）．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】7a（a-3b）
12.【答案】4
13.【答案】 /24厘米
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】解：，
1+3（x-1）=-3x,
解得：x=，
检验：当x=时，x-1≠0，
∴x=是原方程的根．
17.【答案】【小题1】

【小题2】


18.【答案】解：原式=（x+2）（3x-2-2x）
=（x+2）（x-2）
=x2-4，
当x=-1时，
原式=（-1）2-4=-2．
19.【答案】【小题1】
解：四边形是正方形，为对角线
、
；
【小题2】
解：设交于点M，
、，
，
，
，
，
、，
，
．

20.【答案】【小题1】
解：人，
人，
补全频数直方图如下：
；
【小题2】

【小题3】
84.5
【小题4】
解：画树状图如下：
共有12种可能结果，其中甲被选中的有6种，
∴甲被选中的概率．

21.【答案】【小题1】
解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为；
一次函数过点A，C，点A的坐标为，点C的坐标为，
，
解得，
一次函数解析式为；
【小题2】
解：由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
令，
解得：，，
，
当时，自变量x的取值范围是或．

22.【答案】【小题1】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：若，则，
顶点坐标；
【小题2】
解：把代入得，，
把代入得，，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，的最小值是，
若，即的最大值是，
．
解得，（舍去），
若，即的最大值是，
，
解得，（舍去），
综上，的值是或．

24.【答案】【小题1】
证明：①矩形ABCD，
AE平分∠BAD，



②如图，连结BF，
由（1）得：则








【小题2】
当时，如图，延长交的延长线于过作于
则而


同理：

即




当时，如图，记交交于点过作于
同理：

即





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