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第2章 一元二次方程
单元复习
（浙教版）八年级
下
01
知识梳理
02
例题剖析
03
综合训练
01
知识梳理
第一部分
知识梳理
01
知识梳理
知识点1：一元二次方程和它的解
1.一元二次方程的定义：
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫作一元二次方程。
③并且未知数的最高次数是2(二次).
条件
①方程两边都是整式(整式方程)；
②只含一个未知数(一元)；
01
知识梳理
知识点1：一元二次方程和它的解
一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式。
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
01
知识梳理
当 a＝0时，
bx＋c＝0
当a≠0，b＝0时，
ax2＋c＝0
当a≠0，c＝0时，
ax2＋bx＝0
当a≠0，b＝c＝0时，
ax2＝0
归纳：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数．
01
知识梳理
知识点1：一元二次方程和它的解
2.一元二次方程的解：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）
判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：
将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，
若相等，则该数是这个方程的根；
若不相等，则该数不是这个方程的根．
02
例题剖析
例1 把一元二次方程x（x＋1）＝3x＋2化为一般形式为（　A　）
A. x2－2x－2＝0 B. x2－2x＋2＝0
C. x2－3x－1＝0 D. x2＋4x＋3＝0
A
例2 已知 是方程的一个根，则
( )
B
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
1.因式分解法：
先对方程 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
依据
若，则或。
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）移项：将方程的右边化为0。
（2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。
（3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。
（4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
2.开平方法：
一般地，对于形如 的方程，根据平方根的定义，可得, 。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式；
（2）开平方，将方程化为两个一元一次方程；
（3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
3.配方法：
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为 的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。
基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
二次项系数为1的一元二次方程我们能轻松配出，按照以下步骤进行求解：
即：一移、 二配、 三开、 四解.
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
运用开平方法,方程两边开平方
解方程，写出原方程的解
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
当二次项系数不为1时，我们需要先将系数化为1，再按照二次项系数为1的一元二次方程配方法进行求解：
即：一除、 二移、 三配、 四开、 五解.
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
运用开平方法,方程两边开平方
解方程，写出原方程的解
把二次项系数化为1
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
4.公式法：
如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
根的判别式：一般地，式子 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2 4ac．
一元二次方程根的情况
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
> 0
= 0
< 0
≥ 0
两个不相等实数根
注意：一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时 Δ ≥ 0，不要漏掉等号．
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
(2)确定a，b，c的值；
(3)求出b2-4ac的值；
(4)若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0，则方程无实数根.
易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
01
知识梳理
知识点2：一元二次方程的解法
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
一元二次方程解法的选择:
02
例题剖析
例3 用适当的方法解方程：
（1） ;
【解】 ,
开平方，得 ,
或 ,
， .
（2） ;
,
移项，得 ，
配方，得,即 ，
开平方，得 ，
或 ，
, .
02
例题剖析
例3 用适当的方法解方程：
（3） ;
，
整理得 .
，， ，
，
原方程没有实数解.
（4） .
，
移项，得 ，
因式分解，得 ，
或 ,
, .
01
知识梳理
知识点3：一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
02
例题剖析
例4 若,是方程 的两个根，则( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
A
例5 若,是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为( )
A
A. 2 025 B. 2 024 C. 2 023 D. 2 022
01
知识梳理
知识点4：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的基本步骤
审
设
列
解
检
答
(1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量
(2)设元（未知数）。
(3)寻找相等关系，列方程。
(4)解方程
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义。
(6)作答
02
例题剖析
例6 鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万
人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为 ,可列
方程为( )
B
A.
B.
C.
D.
02
例题剖析
例7 金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、流畅优美，成为
金沙湖畔最具魅力的城市地标.如图，某摄影爱好者拍摄了一幅长为，
宽为 的金沙湖大剧院风景照，现在要在风景照四周镶一条等宽的纸边，
制成一幅长方形挂图.若要使整个挂图的面积是 ，设纸边的宽为
，则 满足的方程是 ( )
C
A.
B.
C.
D.
02
例题剖析
例8 某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润.若这种商品每件的售价每涨0.5元,则每天的销售量就会减少10件.若要想每天获得640元的利润,则每件的售价应定为 　16　元.
16　
01
知识梳理
第二部分
综合训练
03
综合训练
1.若 +x-3=0是关于x的一元二次方程,则m的值是(　D　)
A. 2 B. -2
C. 0 D. 2或-2
2.已知关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化成一般形式后不含x的一次项,则m的值为(　D　)
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
D
D
3. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值
为( )
B
A. 4 B. C. D.
03
综合训练
4.重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行
了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、
第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为
__________________.
5. (新考法·新定义题)对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:2※3=22-2×3=-2.如果(x-1)※(2x-1)=-6,那么x的值为 　3或-2　.
3或-2　
03
综合训练
6. 如图， 中， ， ，
.点沿射线方向从点 出发
以的速度移动，点沿射线 方向
从点出发以的速度移动，， 同
时出发，__________________后，的面积为 .
或7或
03
综合训练
7.用换元法解方程：
.
解：设 ，
则原方程可化为 ，
解得, .
当时， ，
解得， ；
当时， ，
解得， .
原方程的根是,,, .
请根据以上材料解方程： .
03
综合训练
【解】设，则原方程可化为 ，
解得， .
当时，，解得， ；
当时， ，方程无实数解.
原方程的根是， .
03
综合训练
8. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1) 求实数k的取值范围.
解:(1) 因为原方程有两个实数根,所以[-(2k+1)]2-4×1×(k2+2k)≥0.所以4k2+4k+1-4k2-8k≥0.所以1-4k≥0.所以k≤
(2) 是否存在实数k,使得x1x2- - ≥0成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(2) 不存在　 理由:因为x1,x2是原方程的两个实数根,所以x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k.由x1x2- - ≥0,得3x1x2-(x1+x2)2≥0.所以3(k2+2k)-(2k+1)2≥0.整理,得-(k-1)2≥0.所以只有当k=1时,上式才能成立.由(1)知,k≤ ,所以不存在实数k,使得x1x2- - ≥0成立.
Thanks!
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