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2025—2026学年人教版中考数学第一次模拟考试押题卷（云南省专用）
（满分100分，时量120分钟）
一、选择题（本题共15题，每小题2分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．如图所示的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
3．云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元后2026年记作（ ）
A．年 B．年 C．年 D．年
5．若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　）
A． B． C． D．
6．若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．函数中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
8．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
11．如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．某校对七年级学生的体育成绩进行抽样调查，成绩评定采用四个等级，其中分别代表优秀，良好，合格，不合格．现对抽取的100份数据进行整理与描述，下列结论正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是80
B．体育成绩为等级对应的扇形圆心角度数是
C．体育成绩达到优秀等级的学生人数最多
D．若该校七年级共有学生1000人，则估计该校七年级学生体育成绩达到良好及以上的学生有690人
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
15．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中黑球代表碳原子，蓝球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每题2分，共8分。）
16．分解因式：______
17．若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为________（结果保留）．
18．将一副三角板按如图所示放置，使点A在边上，此时，则的值为______．

19．如图，在中，，，P是内一点．若，，则______．
三、解答题（本题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
20．计算：．
21．如图，，，．
求证：．
22．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长度．
23．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
24．如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．
25．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《·逆转时空》，《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果．
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率．
26．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接．
(1)若，求的半径；
(2)求证：是的切线；
(3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
27．二次函数（是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若函数的图象经过点，且时，求m的最大值；
(2)若一次函数（k，b是常数，），它的图象与的图象都经过x轴上同一点，且．当函数的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．D
5．B
6．A
7．D
8．A
9．B
10．C
11．C
12．C
13．D
14．D
15．C
二、填空题
16．
17．
18．
19．
三、解答题
20．【详解】解：
．
21．【详解】解：，
，，
在和中，
，
．
22．【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，
∴且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
23．【详解】（1）当时，设与之间的函数关系式是，
把代入得，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
当时，设与之间的函数关系式是，
则，
解得，
当时，与之间的函数关系式是．
；
（2）购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的3倍，
，
解得，
，
，
随的增大而减小．
当时，最小，最小值为（元），
种图书：（本）．
答：购买种图书150本，种图书50本，费用最少，最少费用为5000元．
24．【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设．
∵AB是的直径，D是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵AB是的直径，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF为的切线．
（2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．
设的半径为r，则．
在Rt△OCF中，，
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．
∵AB是的直径，
∴．
∵，D是的中点，
∴．
∵G为BD中点，
∴．
∴．
25．【详解】（1）解：画树状图如图：
∴可能出现的结果．
（2）由（1）可知，小亮、小丽两名同学选择观看不是同一电影的情况有6种，
．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率为．
26．【详解】（1）∵为的直径，
∴，
∵，
在中，由勾股定理可得：
∴，
，
故的半径长为；
（2）如图，连接
为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是⊙O的半径，
是⊙O的切线；
（3）存在，且k的值为2；
过点C作于点G，
，
在与中，
，
，
，
平分，
．
∴，
．
在与中，
，
，
，
即．
27．【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，m有最大值为2．
∴m的最大值为2；
（2）解：由题意：二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，
①若两函数的图象都经过x轴上同一点，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵函数的图象与x轴仅有一个交点，
∴，
即，
整理得：，
∴，
∵，
∴；
②若两函数的图象都经过x轴上同一点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵函数的图象与x轴仅有一个交点，
∴，
即，
整理得：，
∴，
∵，
∴．
综上，当函数的图象与x轴仅有一个交点时，k的值为4或．
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