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2026年北京市初中学业水平考试数学预测卷（一）
考生须知:
1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分选择题
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分：选择题
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
8．如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论：
①的半径为；
②点P的运动速度为；
③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或；
④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第二部分：非选择题
二、填空题(共16分，每题2分)
9．分解因式：_______．
10．方程的解为_______．
11．如图，在中，，若，则的度数为_____．
12．若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是________．
13．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点坐标是___________．
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC，则∠A＝________________ °．
15．如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________．
16．小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功．
（2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________．
三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明演算步骤或证明过程
17．计算：
(1)
(2)
18．解不等式组，并写出它的所有整数解．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证: 四边形是菱形；
(2)若 求菱形的面积．
21．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，现计划开凿隧道使A、C两地直线贯通，经测量得：B地在A地的北偏东67°方向，距离A地280km，C地在B地南偏东的30°方向．
（1）求B地到直线AC的距离；
（2）求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短多少？
（本题结果都精确到0.1km）
22．为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功．
23．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C．
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
26．某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息．
a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则___________，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则___________（填“>”“<”或“=”）；
(2)某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组；
(3)该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________．
27．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）；
(2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d．
(1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______；
(2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______；
(3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．D
4．C
5．D
6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
13．
14．36
15．
16．5 15
三、解答题
17．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【详解】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
∴原不等式组的解集为，
该不等式组的所有整数解为．
19．【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20．【详解】（1）证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
即，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
21．【详解】分析：（1）作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中求解BD即可；
（2）分别求得AD、CD、BC的长，利用AD+CD-(AB+BC)即可.
详解：（1）如图，作BD⊥AC于点D，

在Rt△ABD中，∠ABD=67°，AB=280
∵，
∴
答：B地到直线AC的距离约为109.4km．
（2）∵
∴
在Rt△BCD中，∠CBD=30°BD=109.4，
∴
∴
∴
答：隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短85.4km．
22．【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里．
依题意，得．
解得．
．
即本次测试的总道路长度为2百公里．
本次测试的总能耗为．
本次测试的百公里平均能耗为．
本次测试的百公里平均能耗不高于．
该车能挑战成功．
23．【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和，
∴，
∴，
∴该函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：当时，
解得，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，
∴，
∴．
24．【详解】（1）证明：依题意，得，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，
∵，
，，
，
，
．
25．【详解】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，
在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
26．【详解】（1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长”的统计表如下：
时长 1 2 3 大于3
七年级 5 1 1 3
八年级 2 3 3 2
七年级名学生每周志愿服务时长的中位数为，
八年级名学生每周志愿服务时长的中位数为，
记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，
∴，
七年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，，
七年级名学生的知识测评得分的平均数为（分），
七年级名学生的知识测评得分的方差为
，
八年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，，
八年级名学生的知识测评得分的平均数为（分），
八年级名学生的知识测评得分的方差为，
记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，
∴>，
故答案为：<，>；
（2）七年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，，
组别
学生数 2 2 1 0 1 3
八年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，，
组别
学生数 2 1 1 3 2 1
①表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合，
∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分是分，综合得分是分，位于第4组；
故答案为：①八，②4；
（3）∵综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有名学生，八年级有名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人，
∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为人．
故答案为：．
27．【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵过点作轴的垂线，
∴垂线的方程为，
∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，
∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即，
∴翻折后的抛物线的解析式为，
∴图形为，
∵点和点是图形上的点，且，
∴，，
∴，
∵过点作轴的垂线交轴于点，
∴，
∵随着的增大而增大，
∴随着的增大而增大，
∵，且，
∴当时，随着的增大而增大．
28．【详解】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：，
（2）解：设点，，
∵点P，Q在直线上，轴，轴，
∴，
将代入，得：，解得：，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，
（3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，，
∵直线的解析式为：，
∴，，
∵直线的解析式为：，
∴当时，，当时，，即：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点在点右侧时，，
∴，
∴四点共圆，
当点在点左侧时，
∴，
∴四点共圆，
∵，点为中点，，
∴为的直径，，，
∴是顶角为的等腰三角形，
∴，
设点，则，
∴，
∵直线与交于P，Q两点，
∴，即，
∵点P的横坐标大于点Q的横坐标，
∴点P在直线下方，
当时，，，解得：，
∴，
∴，即：，
∴，即：，
故答案为：．
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