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2026年北京市初中学业水平考试数学押题卷（一）
考生须知:
1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分选择题
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分：选择题
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　)
A．12 B．10 C．6 D．5
4．下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C． D．±
6．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关
7．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：
①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
第二部分：非选择题
二、填空题(共16分，每题2分)
9．因式分解：______．
10．方程的解为_____．
11．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_________．
13．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____．
14．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为__________．
15．如图，在正方形中，E为上一点，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为__．
16．在一次数学游戏中，老师在、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子中字母顺序在前的盘子中取糖果），记为一次操作；若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．次操作后的糖果数记为．
（）若则第______次操作后游戏结束；
（）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ______．
三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明演算步骤或证明过程
17．计算：．
18．解不等式组
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
21．京雄高速通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
22．在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B．
(1)求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
23．如图，，分别切于点和．连接，交于点．点为中点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
24．如图，在中，，点为边上一点，；
(1)如图1，若，，，求点到直线的距离；
(2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明．
25．某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：
85，86，88，90，90，91，92，94
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组）
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 90
学生评委 93
根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，
则 （填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 90 92 90 89 91
乙 90． 91 89 90 91
丙 92 89 91 91
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ．
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．
27．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)过该抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，，是图形上的点，设．
①当时，求的值；
②若，求的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．

已知点，点．
(1)中，是线段的“二倍点”的是__________；
(2)直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
(3)的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．D
4．A
5．D
6．B
7．A
8．A
二、填空题
9．
10．
11．且
12．且．
13．
14．
15．6
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：，
由①得，
由②得，
∴原不等式组的解集是．
19．【详解】解：
，
当时，
原式．
20．【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
，，且，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得．
21．【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，
由题意得：，
解得：，
，
答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．
22．【详解】（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，
，
解得，
一次函数的解析式为；
在中，令得，
解得，
的坐标为；
（2）当时，，，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
解得，
的取值范围是．
23．【详解】（1）证明：如图，在优弧上任意取一点，连接，
∵，分别切于点和，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴
∴
又∵
∴
，点为中点，
∴
，
∴
∴
∴
∴，
∵
24．【详解】（1）解：过点作延长线于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，交于点，
设，
∵，点为线段中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵点为线段中点，
∴．
25．【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90，
（分）；
学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数，
第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据，
所以第25位和26位数据在第3组，
即的值位于学生评委打分数据分组的第3组，
故答案为：90,3；
②，，
故答案为：；
（2）解：（分）
（分）
∴，
所以甲排在乙的前面，
由于丙中间，，
所以，
解得， ，
①当时，
，
，
此时，，，
所以丙排在乙的后面，不符合题意；
②当时，，
此时，，，
所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意；
综上，．
故答案为：甲，．
26．【详解】（1）证明：依题意，得，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，
∵，
，，
，
，
．
27．【详解】（1）解：将点代入中，得
解得：
∴抛物线解析式为
∴对称轴为直线，顶点为，
（2）①当时，，
当时，，
∴抛物线与轴交点为，
∵，是图形上的点，
即
∴，
∴；
②，当时，，
∴与轴交于点，
∴抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得
∵对称轴为直线
∴在对称轴的左侧，
∴，
∵，关于对称
∴当，即时，即
∴
∵
∴，
当，即时，，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴

28．【详解】（1）如图：

、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
在，，，中，，是线段的“二倍点”，
故答案为：，；
（2）如图：

、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，
解得，
当过时，
，
，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：

，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：

此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：

在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为．
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