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2026年湖南省长沙市初中学业水平考试数学第一次模拟试卷押题卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．的绝对值为（ ）
A．7 B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数大于4”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．下表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
捐款金额/元 1 2 3 5 10
人数 5 8 9 15 8
A．5，3 B．15，3 C．15，5 D．5，5
8．，两地相距，一艘轮船从地逆流航行到地，又立即从地顺流航行到地，共用去，已知水流速度为，若设该轮船在静水中的速度为，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线 ，，，则（ ）
A．30° B．35 ° C．36° D．40°
10．班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．因式分解：______．
12．方程组的解为________．
13．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
14．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 __．
15．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
16．如图，四边形内接于圆O，，则的度数是_______度．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简，再求值：，其中
18．计算：
19．先化简，再求值：，其中．
20．中学生心理健康受到社会的泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查（每人选且仅选一项）的方式，根据收集创的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受抽样调查的学生共有______人；扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为______；若该校共有学生1200人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约有______人；
(2)某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取两人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
21．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积S．
22．如图，是的弦，过点作，交于，．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，点是优弧上的一点，求的长．
23．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
24．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的4倍，则称该点为“开心点”．例如、、都是“开心点”．
(1)判断以下函数上是否有“开心点”，有则打√，没有则打“×”；
①（ ） ②（ ） ③（ ）
(2)关于x的函数（a为常数且）是否存在“开心点”，如果存在，指出有多少个“开心点”，如果没有，请说明理由；
(3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，点M为第三象限抛物线上一动点，连接AC，BM交于N点，连接BC，CM，记，，若满足：①抛物线顶点为“开心点”；②；③；求的最大值．
25．如图，为的直径，弦 于点E，G为劣弧上一动点，与的延长线交于点F，连接．．

(1)求证: ；
(2)若 求y与x的函数关系式；
(3)设
①求α与β的数量关系；
②当 且 时， 求x的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．A
4．B
5．C
6．C
7．D
8．B
9．D
10．C
二、填空题
11．
12．
13．6
14．5
15．6
16．
三、解答题
17．【详解】解：
将代入．
18．【详解】解：
．
19．【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．【详解】（1）解：接受抽样调查的学生共有（人）．
，
扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为．
（人），
估计该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约60人．
故答案为：80；；60；
（2）解：将2名男生分别记为，，将2名女生分别记为，，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有：，，共2种，
恰好抽到两名女生的概率为．
21．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
即，
，，
为线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
四边形的面积．
22．【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2），，
，，
，
；
，
的度数，
的长．
23．【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
24．【详解】（1）解：①，直线上的所有点的纵坐标均为横坐标的4倍，
∴函数图象上有开心点；
②联立，可得：，此式不存在，故函数图象上没有开心点；
③，当时，，纵坐标是横坐标的4倍，
∴函数图象上有开心点；
故答案为：√，×，√；
（2）解：联立，得到：
，整理，得：
∴，
∴时，即时，有两个“开心点”，
时，即时，有一个“开心点”
时，即时，没有“开心点”
综上所述：有1个“开心点”，且时有2个“开心点”，无“开心点”；
（3）解：∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为：，
∴顶点的横坐标为，
∵抛物线顶点为“开心点”，
∴顶点的纵坐标为：，
∴二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
当时，，当时，，解得：，
∴，，，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
设点，过点作，交于点，则，
则：
∵，，
∴，
，
∴，即：，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为：．
25．【详解】（1）证明：如图，连接，
直径弦，
，
，
是的直径，
，
，
，
即；
（2）直径弦，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
则，
∴，
，
∴；
（3）如图，设交于点，连接，过点作于点，过点作于点，则，

①∵直径弦，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵， ，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
在中，
在中，，
∵，
∴．
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