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2026年湖南省长沙市初中学业水平数学考试第一次模拟考试押题卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．2022年北京冬奥会已顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．C． D．
4．139 000 000 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列调查中，适合抽样调查的是（ ）．
A．调查本班同学的体育达标情况
B．了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况
C．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况
D．调查黄河的水质情况
9．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，-2）
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：______．
12．已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是___________
13．如图.，在扇形OAB中，，，则阴影部分的面积是______
14．如图所示，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，．则的长为_______．
15．如图，在中，点C在弦上，，，，则圆心O到弦的距离为___________．
16．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中，．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，，．
①分别以点A、B为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与交于点D，与交于点F，连接；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点A与这一点交于点E．
(1)通过以上作图，可以发现直线是___________，射线是___________；（在横线上填上合适的选项）
A．线段的垂直平分线 B．的角平分线
C．的中线 D．的角平分线
(2)在（1）所作的图中，若，，求的周长．
21．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
22．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
23．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的半径．
24．我们将抛物线且与抛物线称为“美轮美奂抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组“美轮美奂抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
(1)已知抛物线，直接写出其“美轮美奂抛物线”的解析式；
(2)若抛物线的顶点在其“美轮美奂抛物线”的图象上，抛物线的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其“美轮美奂抛物线”与轴交于点（在上方）．小雅发现无论为何值时，两抛物线始终有一交点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若是以为斜边的等腰直角三角形，当时，求抛物线截轴得到的线段长度的取值范围．
25．如图，的内接三角形中，，，，点在圆上运动．
(1)求证：为的切线；
(2)若三角形是等边三角形时，，求的最大值；
(3)如图，连接，，当，，时，设此时的面积为，的面积为，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．C
4．D
5．A
6．D
7．A
8．D
9．A
10．C
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．4
16．或
三、解答题
17．【详解】解：
=7
18．【详解】解：原式
.
当，时，原式.
19．【详解】解：，
=，
，
，
把代入原式得．
原式．
20．【详解】（1）通过以上作图，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线；
故选A，D；
（2）∵在中，，．
∴，
∴是直角三角形
∵，，
∴
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
21．【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
22．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
即，
解得：．
23．【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
（3）设的半径为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴的半径为5．
24．【详解】（1）解：根据“美轮美争抛物线”定义知，抛物线的 “美轮美争抛物线”的解析式为 ；
（2）解：
对称轴：，顶点，
的 “美轮美争抛物线”的解析式为 ，
，
，
，
，
令，则，
解得：，
；
（3）解：抛物线的 “美轮美争抛物线”的解析式为，
联立，
解得：，
，
对于，当时，，
，
同理，
又在上方，
，
在以为斜边的等腰中，，
，
，
，
，
，
设与x轴有两个交点横坐标为为，，
，，
，
，
，
，
，
，
对称轴：，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
.
25．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）如图，过点C作，
三角形是等边三角形时，，
，
在中，，
，
点在圆上运动．
当点D与点A重合时，最大，为，
此时也最大，
得，
的最大值为4；
（3）如图，分别延长相交于点P，过点D作，过点C作，连接并延长，交于点，连接，
由（1）结论得，
,
设，则，
由勾股定理得：

，
四边形是圆内接四边形，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，

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