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2026年湖南省初中学业水平数学考试第一次模拟考试预测卷（一）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ）
学生（序号） 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号
仰卧起坐个数 52 56 50 50 48 58 52 50 54
A．众数是58，中位数是48 B．众数是58，中位数是52
C．众数是50，中位数是48 D．众数是50，中位数是52
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，直线，直线与、分别相交于A、C两点，交于点B，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
8．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的外接圆，为直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
10．二次函数图像如图，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：______．
12．函数中，自变量x的取值范围是_______．
13．如图，正五边形内接于，连接，则______．
14．若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为________．
15．关于x的一元二次方程(m－1)x2+6x+m2－m=0的一个根x=0，则m的值是_____．
16．如图，点，点是直线上的动点，以为边，作等边，连接，则线段的最小值为 ______ ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：其中
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与射线，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，画射线，过点作MNOB，交于点．
(1)射线是的 ；
(2)证明：．
21．某学校九年级举行了一次数学竞赛，成绩由低到高分为A，B，C，D四个等级．竞赛结束后老师随机抽取了部分学生的成绩，并将数据绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图不小心被撕了一块．
(1)被抽查的学生共有______人； C等级有______人；
(2)若九年级共有300人参加数学竞赛，估计这次竞赛成绩为D等级的学生有多少人？
(3)成绩为D等级的五个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人，利用画树状图法或列表法求两人恰好是一男一女的概率．
22．如图，在四边形中，，点E是的中点，，，于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长
23．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
24．我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若点与点关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
25．定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．
(1)如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形_______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若，且，则的直径为 ；
(2)如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形”；
(3)如图3，在“完美四边形”中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．C
5．D
6．C
7．A
8．D
9．B
10．A
二、填空题
11．
12．且
13．
14．
15．0
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：原式
=
将代入得原式．
19．【详解】解：
，
当时，
原式
．
20．【详解】（1）解：由尺规作图过程可知，射线是的平分线．
故答案为：平分线．
（2）证明：是的平分线，
，
，
，
，
．
21．【详解】（1）解：∵A等级的学生有30人，A等级的学生扇形统计图占总数的30%，
∴30÷30%=100，
∴抽查的学生共有100人，
∵
∴100×25%=25，
∴C等级的学生有25人；
（2）∵，
∴这次竞赛成绩为D等级的学生有15人；
（3）列树状图如下，
∵一共有20种等可能的结果，其中两人恰好是一男一女的结果有12种，
∴两人恰好是一男一女的概率是．
22．【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE=BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，
∴AC=，
∵S△ABC=，
∴AH=，
∵点E是BC的中点，BC=5，四边形AECD是菱形，
∴CD=CE=，
∵S AECD=CE AH=CD EF，
∴EF=AH=．
23．【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元；
（2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又∵为正整数，
∴可以取，；
∴共有种购买方案，
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是（元）．
24．【详解】（1）①是 “H函数”②是 “H函数”③不是 “H函数”；
故答案为：√；√；×；
（2）∵A,B是“H点”
∴A,B关于原点对称，
∴m=4,n=1
∴A(1,4），B（-1，-4）
代入
得
解得
又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴-＞2
∴-＞2
∴-1＜a＜0
∵a+c=0
∴0＜c＜1，
综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1；
（3）∵是“H函数”
∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,
代入得
解得ap2+3c=0,2bp=q
∵p2＞0
∴a,c异号，
∴ac＜0
∵a+b+c=0
∴b=-a-c，
∵
∴
∴
∴c2＜4a2
∴＜4
∴-2＜＜2
∴-2＜＜0
设t=，则-2＜t＜0
设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0）
∴x1, x2是方程=0的两根
∴
=
=
=
=2
=
又∵-2＜t＜0
∴2＜＜2．
25．【详解】（1）解：四边形是的内接四边形，
四边形的两组对角互补，
对角线平分，
，
，
四边形是完美四边形，
，
是直径，
，
，
，
故答案为：是，；
（2）证明：如图所示：在上截取一点，使得，连接，
，
，，
，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形为“完美四边形”；
（3）解：如图所示，画出四边形的外接圆，过点作，垂足为，
设，，则，
，，
为等边三角形，，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
代入计算得，
，
当时，有最大值，最大值为2．
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