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广东省佛山市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考学科素养达标卷
（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）
A． B． C．或 D．
5．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
6．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
7．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
8．若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
9．如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
10．若关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在Rt△ABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若BAE=50，则=_______．
12．小王准备用60元买手抓饼和冰激凌，已知一张手抓饼5元，一个冰激凌8元，他购买了5张手抓饼，则他最多还能买_______个冰激凌．
13．关于的不等式与的解集相同，则 ___________________
14．如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 __________
15．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是__________．
16.已知不等式组的解集是，则的值为_______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．求不等式组：的所有整数解．
18．已知：如图，，，是的角平分线．求证：．
19．解不等式：
(1)；
(2)．
20．五一假期，两位老师计划带领若干学生去古镇参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费．
(1)设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式．
(2)若学生人数不超过10人，为了减少花销，他们应该如何选择旅行社？
21．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：
(1)求出足球和篮球的单价；
(2)若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？
22．如图，在等边三角形中，是中线，延长至点，使．过点作于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
23．阅读下列材料：
已知：，且，试确定的取值范围．
解：，
，
，
，
，
，
，
同理得：，
，即．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，求的取值范围；
(2)已知，且，求的取值范围．
24．如图，边长为8的等边三角形中，D，E分别是边的中点，点P从B点沿着折线运动，连接绕点A逆时针旋转60°到点Q．

(1)如图1，当点P在上运动时，求的度数；
(2)如图2，连接，设P点的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，请求出的面积S关于t的函数关系式；并指出t的取值范围；
(3)当是直角三角形时，直接写出此时的长．
25．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ；
(2)若关于的不等式组的“长度”，求的值；
(3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B B C A A A C
二、填空题
11．20°
12．4
13．2
14．8
15．
16．1
三、解答题
17．【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3．
18．【详解】证明：如图，过点D作于点E，
∵平分，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
19．【详解】（1）解：，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1，得：，
（2）解：，
去分母得，，
去括号，得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1.得：．
20．【详解】（1）解：；
；
（2）解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
21．【详解】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
根据题意，得，
解得：，．
即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；
（2）设购进足球y个，则购进篮球个．
根据题意，得，
解得，
∵y为整数，
∴，39，40．
当，；
当，；
当，．
故有三种方案：
方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；
方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；
方案三：购进足球40个，则购进篮球10个．
22．【详解】（1）证明：是等边三角形，是中线，
平分，，
．
，，
，
，
，
点是的中点；
（2）解：，
．
，
，
，
，
．
是的中点，
．
23．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，即：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
24．【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转到点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，当点P在上运动时，取的中点R，连接，过点R作于T，

由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵三角形是等边三角形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，
∴；
②当点P在上运动时，取的中点R，连接，连接，过点E作于O，则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D，E都是中点，
∴是中位线，
∴，且，
在中，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是中线，
∴；
综上所述，．
（3）解：根据（2）中的推理可知，
①当点P与点T重合时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，连接，

在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴是直角三角形，，
∴，
在中，；
②当点P运动到中点时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，

∵点R，P是的中点，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
25．【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为：，0，1；
故答案为：3；，0，1．
（2）解：
由不等式，得，
当即时，，
结合得解集为：4和中的较小值，
“长度”，
，
解得，满足，符合题意；
当即时，，
结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意；
综上可知，a的值为；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组有3个“整点”，
∴，其中，
设3个整数解为k，，，
则，
变形得，
，
，，
根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2，
其中，当整数解为，，0，即时，
可得
解得a的取值范围为，符合题意；
当整数解为，0，1，即时，
可得，
该不等式组无解，不合题意；
当整数解为0，1，2，即时，
可得，
该不等式组无解，不合题意；
综上可知，a的取值范围为．
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