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(共25张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
学习目标
学习目标 核心素养
1. 掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算，提升逻辑推理能 数学运算
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题，提升逻辑推理能力 数学运算
如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的
终边与单位圆交于点P1 .
(1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为
终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函
数值之间有什么关系？
(2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点
P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？
新课引入
思考：设a, b, c, d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
问题：复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di,其中a, b, c, d∈R,则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di),按照上述运算法则将其展开,z1·z2等于什么？
z1·z2 = (a+bi)(c+di)
= ac+adi+bci+bdi2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i
探索新知
我们规定，复数的乘法法则如下∶
设z1=a + bi，z2= c + di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积为
很明显，两个复数的积是一个确定的复数，特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
(a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2
=(ac－bd) + (bc+ad) i
类似多项式展开
把i2换成－1，合并实部与虚部
探索新知
思考：复数的乘法是否满足交换律、结合律呢？乘法对加法满足分配律吗？
交换律: z1z2=z2z1
结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)
分配律： z1(z2+z3)= z1z2+z1z3
典例分析
例3.计算 (1－2i)(3＋4i) (－2＋i).
解：(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)
=(11－2i) (－2＋i)
= －20＋15i
例4.计算 （1) (2＋3i)(2－3i) ; （2) (1＋i)2.
解：(1) (2＋3i)(2－3i) =22－(3i) 2= 4－(－9)=13;
(2) (1＋i)2 = 1＋2i＋i2 =2i.
探索新知
思考：若z1和z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2，z1 z2分别是怎样的数？
实数
纯虚数
实数
z1 z2 =
探索新知
分子分母同乘以分母的共轭复数，
从而使分母“实数化”
分子，分母运用乘法进行化简
化为复数的代数形式
探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则？
典例分析
先写成分式形式
然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数
结果化简成
代数形式
解：
探索新知
复数除法的法则:
进行复数除法运算的方法：
复数除法的法则
根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.
复数除法: 分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
类比
典例分析
探索新知
在复数范围内实系数一元二次方程
的求根公式为：
课堂小结
复数的乘法
在复数范围内解一元二次方程
复数的除法
(1)分子分母同乘以分母的共轭复数;
(2)分子，分母运用乘法进行化简.
(1)类似多项式展开;
(2)把i2换成－1，合并实部与虚部.
课堂检测
B
课堂检测
C
课堂检测
C
课堂检测
复数中的方程问题，时常转化为复数相等的问题，只需等式两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等，从而得到相应的实系数的关系式，转化为熟悉的实数问题。
课堂检测
探索新知
解：
拓展
例7.
课后作业
课本第80页练习题1.2.3.4
分层作业基础练
谢谢大家观看
Thanks!
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