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2025-2026学年高三下学期三月摸底检测数学试题 6．用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为 42°，如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆
锥，设 AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称∠OAP为彩虹角．
注意事项：
若平面 ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，M为 BC的中点，BC＝600米，AM＝
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚. 400米，则彩虹 的长度约为（ ）
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， （参考数据：sin42°≈0.67，sin1.1 ）
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
A．（670π﹣737）米 B．（670π﹣335）米
项中，只有一项是符合题目要求的）
C．（1000π﹣737）米 D．（1000π﹣335）米
1．若复数 z满足 ，则 z＝（ ）
7．设函数 y＝x2+2x﹣10，y＝2x+2x﹣10，y＝log2x+2x﹣10的零点分别为 a，b，c，则（ ）
A．2i B．﹣2i C．2+i D．2﹣i
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
2．已知 x5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则 a2＝（ ） 8．在棱长为 2的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是 A1D1的中点，点 N是侧面 B1BCC1上的
A．15 B．10 C．﹣10 D．﹣15
一个动点，满足 MN∥平面 A1BD，则线段 MN长度的最大值为（ ）
3．设双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ．P A．2 B． C． D．
是 C上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为 8，则 a＝（ ）
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
A．2 B．4 C．6 D．8
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
4．已知 ，则 tan（β﹣α）＝（ ） 分，有选错的得 0分）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 9．（6分）函数 f（x） 的图象如图所示，图中阴影部分的面积
5．已知 a＞0，b＞0，且 ，则下列说法不正确的是（ ） 为 3π，则下列结论正确的是（ ）
A． B． A．函数 f（x）的最小正周期为π
B．
C． D．
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C．函数 f（x）的定义域为 花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和
葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 2，圆 O的圆心为正六边形
D．函数 f（x）图象的对称中心为
的中心，半径为 1，若点M在正六边形的边上运动，动点 A，B在圆 O上运动且关于圆心 O
10．（6分）已知圆 C：x2+y2＝4，P是直线 l：x+y﹣6＝0上一动点，过点 P作直线 PA，PB分
对称，则 的取值范围是 ．
别与圆 C相切于点 A，B，则（ ）
A．圆 C与直线 l相离
B．|PA|存在最小值
C．|AB|存在最大值
D．存在点 P使得△ABC为直角三角形
11．已知 f（x）是定义在 R上的奇函数，且 y＝f（x+2）为偶函数，以下说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于 x＝﹣2对称 四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
B．f（x）为周期函数 15．（13分）假设某市大约有 800万网络购物者，某电子商务公司对该地区 n名网络购物者某年
C．若 f（x）在（0，2）上单调递减，则 f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递减 度上半年前 6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.5，1.1]
D．若 x∈[0，2]时，f（x）＝x3，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2025）+f（2026）＝9 内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的 a，b，c，d满足 d＝c+0.5＝b+1＝
a+1.5，且从左到右 6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为 2400．
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） （1）求 a，b，c，d的值；
12．已知全集U＝P∪Q，集合P＝{1，3，4}， ，则正确命题序号是 ． （2）现用分层抽样方法从前 4组中选出 18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
①Q的子集有 8个；② ；③P∩Q＝{1，3}；④U中的元素个数为 5．
②在前 2组所抽取的人中，再随机抽取 3人，记这 3人来自第一组的人数为 X，求随机变量
13．某单位为了了解用电量 y度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4天的用电量与当天气温．
X的分布列与数学期望．
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
由表中数据所得回归直线方程为 ，据预测当气温为 5℃时，那么用电量的度数
约为 度．
14．青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青
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（3）当点 C的横坐标为 4时，以 C为直角顶点，作抛物线的两个内接 Rt△CPQ及 Rt△CRT
16．（15分）已知曲线 f（x）＝ex（x+1）． （抛物线的内接三角形是指三角形的三个顶点都在抛物线上），求线段 PQ，RT的交点坐标．
（1）求 f（x）在 x＝1处的切线方程．
（2）若函数 g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数 m的取值范围．
17．（15分）如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF为正方形，AD∥BC，BC⊥CD，AD
＝2BC＝2CD，G为线段 CE上一点，且 EG＝2GC．
（1）证明：AE∥平面 BDG．
（2）求二面角 E﹣BD﹣G的余弦值．
19．（17分）对于给定的数列{an}，数列{bn}是{an}的生成数列，且 b1＝a1，b2＝a2﹣a1，b3＝a3﹣a2，
当 n≥4时，删除 a1，a2，…，an中的最小值与最大值，剩余 n﹣2个数的平均数为 bn．
（1）若数列{b }是数列{n2n ﹣4n}的生成数列，求 b5；
（2）若数列{cn}是数列{2n}的生成数列，求数列{（n﹣2）2cn}的前 n（n≥4）项和 Sn；
（3）设数列{pn}是数列{n+1}的生成数列．
①证明数列{pn+3}为等差数列；
②设[x]表示不大于 x的最大整数， ，求数列{qn}的通项公式．
18．（17分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点 O，焦点在 y轴的正半轴上，过焦点作直线 l交抛
物线Γ于 M，N两点，且 12．
（1）求抛物线Γ的标准方程；
（2）如图，过抛物线Γ上的三个不同点 A，B，C（B在 A，C之间），作抛物线的三条切线，
分别两两相交于点 D，E，F．是否存在常数λ，使得 ？若存在，求出λ
的值；若不存在，请说明理由；
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参考答案 （2）①因为前 4组的频率之比为 a：b：c：d＝1.5：2：2.5：3＝3：4：5：6，
且现从前 4组中选出 18人进行网络购物爱好调查，
一．选择题
所以在[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9）应该抽取的人数分别是：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
．
答案 B C A C C A A A
②由题意，随机变量 X的所有可能取值是 0，1，2，3．
则
二．多选题
题号 9 10 11 ，
答案 ABC AB ABD 故随机变量 X的分布列为：
X 0 1 2 3
三．填空题 P
12．③④．
所以 ．
13．40．
14 [2 3] 16．解：（1）f（x）＝e
x（x+1），则 f′（x）＝ex（x+2），
． ， ．
所以 f′（1）＝3e，又 f（1）＝2e，
所以 f（x）在 x＝1处的切线方程为 y﹣2e＝3e（x﹣1），即 3ex﹣y﹣e＝0．
四．解答题
15 1 （2）g（x）＝f（x）﹣3e
x﹣m＝ex（x﹣2）﹣m，
．解：（ ）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为 0.8×0.1＝0.08，
函数 g（x）＝ex（x﹣2）﹣m有两个零点，
又因为第五小组的频数为 2400，所以样本容量 ．
相当于曲线 u（x）＝ex（x﹣2）与直线 y＝m有两个交点，
因为第六小组的频率为 0.2×0.1＝0.02，所以第六小组的频数是 30000×0.02＝600．
u'（x）＝ex（x﹣2）+ex＝ex（x﹣1），
由频率之和为 1，得（a+b+c+d+0.8+0.2）×0.1＝1，所以 a+b+c+d＝9．
当 x∈（﹣∞，1）时，u′（x）＜0，所以 u（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
因为频率分布直方图中的 a，b，c，d满足 d＝c+0.5＝b+1＝a+1.5，
当 x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，所以 u（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以 b＝a+0.5，c＝a+1，d＝a+1.5．
所以 x＝1时，u（x）取得极小值 u（1）＝﹣e，
所以代入 a+b+c+d＝9中，得 a+a+0.5+a+1+a+1.5＝9，
又 x→+∞时，u（x）→+∞，x＜2时，u（x）＜0，
得 4a+3＝9，解得 a＝1.5．所以 b＝2，c＝2.5，d＝3．
所以实数 m的取值范围为{m|﹣e＜m＜0}．
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17．解：（1）证明：由正方形 ABEF，得 BE⊥AB，而平面 ABEF⊥平面 ABCD，平面 ABEF∩平 令 a＝1，得 ，
面 ABCD＝AB，
设二面角 E﹣BD﹣G的平面角为θ，且θ为锐角，
BE 平面 ABEF，则 BE⊥平面 ABCD，取 AD中点 H，连接 BH，
则 ，
由 AD∥BC，AD＝2BC，得四边形 BCDH为平行四边形，
则 BH∥CD， 所以二面角 E﹣BD﹣G的余弦值为 ．
由 BC⊥CD，得 BE⊥BC， 18．解：（1）设抛物线Γ的标准方程为 x2＝2py（p＞0），直线 MN的方程为 ，
则直线 BH，BC，BE两两垂直，
以 B为原点，直线 BH，BC，BE分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，设 BC＝3， 联立 ，消去 y，得 x2﹣2pkx﹣p2＝0，Δ＝4p2k2+4p2＞0，
则 ，.
设 ，N ，
，
所以 ，解得 p＝4或 p＝﹣4（舍去），
设平面 BDG的法向量为 ， 所以抛物线 C的标准方程为 x2＝8y；
（2）存在常数 1，使得 ，理由如下，
则 ，则 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， ，
取 x＝1，得 ，
则在点 A处的切线方程为 ，即 ，
而 ，
在点 B处的切线方程为 ，即 ，
因此 ，
则 ，又 AE 平面 BDG， 由 ，解得 ，所以 ，
所以 AE∥平面 BDG．
同理可得 ， ，
（2）由（1）得 ，
， ， ，
平面 BDE的法向量为 ，
， ，
则 ，则 ， 所以 ，
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， 则 ，
可得 ，所以存在λ＝1，使得 ． 则
（3）当点 C的横坐标为 4时，代入 42＝8y得 y＝2，即 C（4，2）， ＝32+2n+1﹣32﹣（n﹣2）2n+1＝（3﹣n）2n+1，
设 P（xP，yP），Q（xQ，yQ），直线 PQ的方程为 m（x﹣4）+n（y﹣2）＝1， 即 ．
联立 得（1+8m）（x﹣4）2+8（n﹣m）（x﹣4）（y﹣2）﹣8n（y﹣2） 故 ，n≥4．
2 （3）①证明：因为数列{n+1}单调递增，＝0，
所以 a1＝2，a2，…，an中的最小值与最大值分别为 a1＝2，an，
即 ，
则当 n≥4时， ，
所以 ，
所以 ，所以数列{pn+3}为等差数列．
直线 PQ的方程为 m（x﹣4）+n（y﹣2）＝1可化为 m（x+4）+n（y﹣10）＝0，
即直线 PQ恒过定点（﹣4，10），同理直线 RT也过定点（﹣4，10）， ②由①及 n+3≥4，得 ，
所以 PQ，RT的交点坐标为（﹣4，10）． 令 ， ，则 ，xy＝1，
19．解：（1）易知数列{n2﹣4n}的前 5项分别为﹣3，﹣4，﹣3，0，5，
则 x2+y2＝4（n+7）﹣2＝4n+26，
删除最小值﹣4，最大值 5，
所以 x4+y4＝（4n+26）2﹣2＝16n2+208n+674．
则 ．
因为 ，所以 y4∈（0，1），
（2）因为数列{2n}单调递增，
所以 ．
所以 a1＝2，a2，…，an中的最小值与最大值分别为 a1＝2，an，..．
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c1＝2， ， ，
当 n≥4时， ，
．
设 ，
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