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第四章因式分解单元检测同步训练拔尖卷北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（ ）
A．140 B．70 C．35 D．24
4．对于任意整数，多项式都能被（ ）整除．
A． B． C． D．
5．如果，，那么的值是（　　）
A． B． C．13 D．30
6．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．若，，则的值为 （ ）
A． B．1011 C．2022 D．2024
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．分解因式：=___________
10．分解因式：_______．
11．若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为_____．
12．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418．
（1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是_____；
（2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是_____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．分解因式：
(1)；
(2)．
14．将下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
15．阅读理解
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
．
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由．
16．仔细阅读下面的例题，解答问题．
例题：已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
，
则，
，
解得
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
(1)已知二次三项式因式分解后一个因式为，求另一个因式及的值；
(2)已知二次三项式因式分解后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
17．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
18．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有：
解：
．
像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：．
(2)若，求a、b的值；
(3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．B
4．A
5．D
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．
11．1
12．1014148 106
三、解答题
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
15．【详解】（1）解：
；
（2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
∵、、是的三边长，
∴，
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形．
16．【详解】（1）设二次三项式因式分解后的另一个因式为，
则，
即，
故，
解得
即二次三项式因式分解后的另一个因式为，．
（2）设二次三项式因式分解后的另一个因式是，
则，
即，
故，
解得，
所以二次三项式因式分解后的另一个因式为，．
17．【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知：，
当时，；
当时，；
∴的值为．
18．【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）解：∵
∴当时，式有最小值，最小值为1．
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