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第二章一元二次方程单元检测培优卷浙教版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的根是（ ）
A．， B．，
C． D．，
3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或12
7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8．在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________．
10．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是______．
11．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则______．
12．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．选择合适的方法解下列方程：
(1)
(2)
14．已知：关于的方程．
(1)求证：无论取何值方程必有实数根；
(2)设，方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式．
15．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元．
(1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量；
(2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？
16．已知，是一元二次方程的两个根．
(1)求的值．
(2)若时，求的值．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
18．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究．
(1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”；
(2)若实数a，b满足，，且，求的值；
(3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．A
4．B
5．D
6．A
7．B
8．B
二、填空题
9．或
10．且
11．2026
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：，
移项，得，
因式分解，得，
或，
解得．
（2）解：，
这里，
，
方程有两个不相等的实数根
，
．
14．【详解】（1）证明：当时，原方程为，解得，方程有实数根；
当时，
，方程有实数根；
∴无论取何值方程必有实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴
．
15．【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，
由题意得，
解得，
则甲款头盔的数量为，
答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个；
（2）解：设甲款头盔的单价上涨了元，
由题意得，，
整理得，，
解得或，
由题意得，，
∴舍去，
答：甲款头盔的单价上涨了5元．
16．【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根，
，，
；
（2）解：∵，
∴
，
由得，
∴
．
17．【详解】（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．
18．【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
∴“黄金数”为；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴a，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
（3）证明：∵①，②,
∴，得，
∴
∵，
∴，
∴③，④，
将④代入①，得，
∴，
∴ ，
将③代入②，得，
∴，
∴，
∴p，q是一元二次方程的两个根，
∴．
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