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专题：指对幂函数（基础与提升）-2026年高考数学复习系列
一、单选题
1．设，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
2．已知是定义在上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知奇函数在上单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
6．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．取值范围为
8．已知正实数a，b满足和，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数定义域为R，则的值可能为（ ）
A．5 B．0 C．8 D．6
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象所过定点的坐标为
B．函数的单调递增区间是
C．函数的值域为
D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是
11．下列叙述正确的是（ ）
A．已知幂函数是奇函数，则实数
B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为
C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为
D．函数在区间内有零点
三、填空题
12．已知函数在单调递增，则的取值范围为________．
13．在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______．
14．写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④.
四、解答题
15．设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．已知幂函数：，且函数在上单调递增
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
17．已知函数.
(1)若的定义域为，求，的值.
(2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(3)若在上单调，求的最小值.
18．已知函数.
(1)若的定义域为，求实数的取值范围.
(2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围.
(3)设函数.若，使得成立，求实数的取值范围.
19．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）．
(1)求的值；
(2)证明：两角和的双曲余弦公式；
(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
《专题：指对幂函数（基础与提升）-2026年高考数学复习系列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A A D D A ACD BCD
题号 11
答案 AD
1．A
【详解】因为，
且，
所以
2．D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对数运算，将转化为自变量在内的函数值即可求解.
【详解】因为的周期为4，所以，
又是定义在上的偶函数，
所以，
其中，即，
所以.
3．B
【分析】根据函数奇偶性及单调性判断即可求解.
【详解】由题意得在上单调递增.
因为，
所以.
又，所以，所以.
故.
4．A
【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数（且），
由可得，且，故，，
则有，即，故，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
5．A
【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像.
6．D
【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出.
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为，
已知经过年臭氧含量剩下一半，即，
两边同时取对数得：，所以，
要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即，
由，，得，
代入得：年，
因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的.
7．D
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解.
【详解】A，当时，，则在上单调递减，，
当时，，则在上单调递增，，即，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
，，
利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象如下，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点，则，错误；
B，结合选项A中分析可得，所以，则，错误；
C，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称，所以，错误；
D，当时，，令，得，所以，，
由图知同增同减，所以，正确.
8．A
【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可.
【详解】由，两边取对数，，即，
又由，两边取对数，，即，
令，，则，
由，可得在上单调递增，则，故；
又由可得，则，故.
故选：A.
9．ACD
【详解】因为函数定义域为R，
所以对恒成立，
若，则对不恒成立，故不符合题意；
若，则，解得，
所以的取值范围为.
10．BCD
【详解】对于A，当时，恒有，因此所求定点坐标为，A错误；
对于B，函数的定义域为，
函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减，
因此函数的单调递增区间是，B正确；
对于C，令，则，，
所以，函数在上单调递减，
则时，函数取到最大值2，所以函数值域为，故C正确；
对于D，由题意得，解得，D正确．
11．AD
【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误.
【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或，
当时，，，为偶函数，故舍去，
当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确；
选项B：将曲线向右平移个单位长度，得，
再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误；
选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误；
选项D：因为与在均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
又，，
所以，则在区间内有零点，故D正确.
12．
【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解.
【详解】令，原题意等价于函数在单调递增，
可知在内单调递增，且在内恒成立，
则，解得，
所以的取值范围为.
13．
【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒，
所以，解得；
当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，
则，即，解得.
14．（答案不唯一）
【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解.
【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减；
条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征，
在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合；
在中，取为负偶数即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，当时，利用函数的单调性求出集合，再利用交集的定义可求得集合即可.
（2）分析可知是的真子集，利用函数的单调性求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，求解即可.
【详解】（1）对于函数，则有， 得，
故，
当时，由反比例函数性质得在上递减，
则函数在上递减，可得，即，
得到，则，即.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，由反比例函数性质得函数在上单调递减，
所以，且，得到，解得.
因此实数的取值范围是.
16．(1)
(2)奇函数,证明见解析
【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求；
(2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断.
【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或，
又因为幂函数在单调递增，故，即；
（2）为奇函数，
证明如下：定义域为，，
故是奇函数.
17．(1)，
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据真数大于0，结合一元二次不等式的解法及韦达定理，即可得答案.
（2）分析可得函数，的最大值大于，根据二次函数的性质，分析求解，即可得答案.
（3）由复合函数单调性可知，在上单调，且在上恒成立，根据二次函数的性质，分类讨论，分析求解，即可得答案.
【详解】（1）由题可知，的解集为，
所以1和2是方程的两根，
由韦达定理得，解得，.
（2）当时，，要使在内存在最大值且大于2，
只需函数，的最大值大于，
则，即，无实数解，
故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于2.
（3）若在上单调，记，
则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立
则或，
①当时，，，
此时，
当且仅当，时，等号成立；
②当时，，，
此时，当且仅当，时，等号成立.
综上，的最小值为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）应用对数函数定义域结合二次函数恒成立计算求解参数；
（2）应用对数复合函数单调性列式计算求解参数；
（3）先应用指数函数单调性把恒成立及存在问题转化为最值问题，方法一：分类讨论对称轴求解参数范围；方法二：先参数分离，再应用函数单调性结合基本不等式计算求解最值得出参数范围.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
所以恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，.
令，得或，
又，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以在上单调递增，
因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为.
（3）因为，使得成立，所以.
因为在时单调递减，
所以，
即，即成立.
方法一：设，其图象的对称轴为直线.
当时，只需，解得；
当时，只需，解得；
当时，只需，无解.
综上，得，即实数的取值范围为.
方法二：成立，等价于成立，
所以.
记，则在上单调递增，所以，所以.
成立，等价于成立，
所以.
记，则（当且仅当时取等号），所以，所以，
综上，，即实数的取值范围为.
19．(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接代入双曲函数的指数定义展开，利用平方差公式计算得出结果为常数1；
（2）将两角和的余弦公式右边按指数定义展开，合并同类项后即可得证；
（3）利用双曲函数的指数表达式化简不等式，分离参数，通过换元将问题转化为求二次函数在对应区间上的最大值.
【详解】（1）.
（2）因为
，得证；
（3）由题意，得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，因为，所以，所以．
所以，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即m的取值范围为．
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