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专题：导数及其应用（基础与提升）-2026年高考数学复习系列
一、单选题
1．下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则其在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义在R上的函数，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．已知函数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若恒成立，则
D．若，则
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为
B．当时，函数为奇函数
C．若过点有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为
D．若函数有3个零点，则这3个零点之和为
11．已知曲线C的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知函数，其中是的导函数，则__________.
13．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为________．
14．已知函数，其中．给出下列四个命题：
①存在实数，使的值域为；
②存在实数，使有8个零点；
③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形；
④对于任意实数，存在，使有3个极大值点．
其中所有正确命题的序号是___________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数；
(3)若有三个极值点，，，且满足，求的取值范围.
16．已知．
(1)当时，若，判断的单调性并给出证明；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围；
(3)若在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
17．设函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在极值点，且，其中，求证：
(3)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：当时，．
19．已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
(2)当时，，且，求证：．
(3)若，对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
《专题：导数及其应用（基础与提升）-2026年高考数学复习系列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A D C C A ACD BCD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据幂函数求导法则判断A，B；根据复合函数求导法则判断C；根据正弦函数求导法则判断D.
【详解】选项A：，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：对复合函数求导，得， C错误；
选项D： ，D错误.
2．C
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
则在处的切线的斜率为，
结合，可得在处的切线方程为，即.
3．B
【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.
【详解】由题当时，，所以，
所以当时，，当时，；
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
当时，当时，；
当时，；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数有个不同的零点，
所以的图象与直线有个交点，
即，解得.
4．A
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】已知，由导数的定义可以知道，
设，当时，.且
所以
5．D
【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值.
【详解】函数，所以，，
解得，，
所以.
6．C
【分析】先求曲线在点处的切线斜率与圆在点处的切线斜率，利用二者相等得到与的关系，再结合点在圆上列方程求解,，最后代入曲线方程求出的值.
【详解】由知定义域为，则，
此时曲线在点处的切线斜率为：，
又圆的圆心与点所在直线的斜率为：，
所以圆在点处的切线斜率为：，
由题意知，①
又在圆上所以：，②
将①代入②中得：，
化简得：，解得：或（舍去），
又由题意知，所以，此时，所以，
将代入中有：，解得：.
7．C
【分析】由导数与单调性的关系判断即可.
【详解】由函数的图象可知：
当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增．故C满足．
8．A
【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解.
【详解】取的中点为O，连接，
由于，故，
平面，故平面，
设，则，，
设，则四面体的体积，
要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面，
则此时，令，，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故时，取得最大值，此时取得最大值，
即得，
以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心为，则，
即，
解得，即外接球球心为，
故外接球半径为，
故外接球的表面积为.
9．ACD
【分析】对每个选项分别构造对应函数，通过求导分析函数的单调性、极值与最值，结合函数值的符号判断不等式是否恒成立，从而确定正确选项.
【详解】对于A：，即，令函数，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值，所以，
即，故选项A正确；
对于B：，即，令函数，
则，
令，则，当时，，单调递减，
又，所以存在时，,单调递减，又，
所以时，，即，所以，
即，B错误；
对于C：因为，即，
令，则，
令得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故函数的最小值是，
若恒成立，则，设，
则由，得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
当时，取最大值为，即，所以不等式的解为，
则不等式的解为，可得，故选项C正确；
对于D：因为单调递增，，所以（函数有意义），
记，
因为函数和在是增函数，所以在上单调递增，
因为，
所以在上必定存在唯一一个零点，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
由，得，所以，
所以，所以，所以，故选项D正确.
10．BCD
【详解】对于A选项，由，
当时，没有极值；
当时，令，可得或，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极大值点；
当时，令，可得，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极小值点，故A选项错误；
对于B选项，由，
有，可得函数为奇函数，故B选项正确；
对于C选项，设切点为，可知，
可得函数在点M处的切线方程为 ，代入有，整理为，
若过点有三条直线与曲线相切，可得关于m的方程有且仅有3个根，
显然，上述方程可化为.
令，有，
令，即，解得，
可得函数的减区间为，
令，即，解得或，
所以函数增区间为，
又由.可得，可得，故C选项正确；
对于D选项，显然，设，
又由，可得，
同理可得，
将上面两式作差，得，
整理可得，故D选项正确.
11．ABD
【分析】问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点；对A：利用点在椭圆内部可得；对B：利用点在原函数图象上可得；对C：举出反例即可得；对D：作出对应曲线的图形，分析是否满足题设即可得.
【详解】设、，由，
等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点；
对A：由，故点在椭圆内部，
过该点的直线与椭圆总有两个交点，符合题意，故A正确；
对B：当时，，即点在上，
符合题意，故B正确；
对C：取，则直线为，
则过点且与平行的直线为，
代入，有，即，
构造函数，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，故无解，
即直线与无交点，故C错误；
对D：如下图，，，
如图所示，其中任意点在曲线上运动，
都存在一点，使直线平行或重合，满足题设，故D正确.
12．
【分析】对原函数求导得到含常数的导函数，再代入构造关于的一元一次方程，解方程得到最终结果.
【详解】已知原函数 ，可得 ，
将代入可得 ，即 ，
整理得 ，解得 .
【点睛】本题考查基本导数的运算，核心方法是识别函数固定点的导数值为常数，通过构造一元一次方程求解未知导数值.
13．1
【分析】设，进而根据点在椭圆上求得半径，圆心，根据面积公式将问题转化为求点纵坐标的最值问题，最后构造函数，利用导数求解最值即可.
【详解】由题意得，所以，
设，则圆心，半径，
又点P在椭圆E上，所以，即，
则，
又面积，
要使面积最大，只需最大，
因为点M在圆C上，且圆心C的纵坐标为，
所以的最大值为，
令，
则，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以最大值为，即的最大值为2，
所以面积的最大值为.
14．②③④
【分析】举反例判断①，利用函数的性质结合函数图象判断②，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断③，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断④即可.
【详解】对于①，令，则，而，故①错误，
对于②，令，可得，
则，若有8个零点，
可得有4个零点，
且也有4个零点，
令，，，此时变为如下，
为，
令，
则研究与以及的交点即可，
如图，作出符合题意的图形，
此时与以及共有8个交点，
即存在实数，使有8个零点，故②正确，
对于③，令，
若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形，
设的对称轴是，可得，
而
，
可得，解得，故③正确，
对于④，由题意得，
当时，，当时，，
而，，，
对于任意实数，只需，
则，，，
结合零点存在性定理得存在作为零点，
且，，，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可得有2个极小值点，1个极大值点，
即有3个极大值点，故④正确.
15．(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可
（2）求解函数的导数，再由的最大值小于求解即可.
（3）已知，令得到，令，求解的大致图象，因为在上有三个极值点，，，得到与有两个不同的交点，有，代入，令，求解的导数，由单调性求解最小值即可.
【详解】（1）时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题知（），
若，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以函数在上没有零点，即零点个数为0.
（3）由（2）知（）.
令，得或.
设（），则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又当时，；
当时，，且，
所以的大致图象如图所示，
因为在上有三个极值点，，，
所以与有两个不同的交点，所以.
不妨设，则，
所以，所以
所以，
令（），
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以.
又，所以，所以在上单调递增.
因为，所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以的取值范围是.
16．(1)单调递增，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用单调性的定义可证函数的单调性.
（2）不等式等价于，根据题意只需即可求解.
（3）法一：由题意可得0在上恒成立，进而可得在上恒成立，可求得实数a的取值范围.法二：由在区间上是增函数，在上任取，则，进而计算可求得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，在上单调递增.
证明：设，则
因为，所以，则，
所以，那么0，
即，所以在上单调递增.
（2）由在上有解，可得在上有解，
即在上有解.
令，函数的图象开口向下，对称轴为，
所以在处取得最大值.
因为在上有解，所以，即实数的取值范围是.
（3）法一：对求导，根据求导公式，
可得.因为在区间上是增函数，
所以0在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，因为，所以在上单调递减，
则，所以，即实数的取值范围是.
法二：因为在区间上是增函数，
所以在上任取，
所以，
因为，所以，，所以，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
，所以，
所以实数的取值范围是.
17．(1)， 在上单调递增；，在区间上单调递增，在区间单调递减
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）对函数求导后利用二次函数的性质结合的取值范围分析单调性即可.
（2）根据存在极值点，则且，由，得到，然后分别求，，论证即可.
（3）设在区间上的最大值为，表示中最大值，结合（2）将端点函数值和极值比较，分，和三种情况讨论求解.
【详解】（1）对求导得：，
判别式，分情况讨论：
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得；
时，单调递增；
时，单调递增；
时，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间单调递增；
在区间单调递减；
（2）因为函数存在极值点，
所以，即，
由可得，
即.
因为，所以
，
故．
（3）设在区间上的最大值为，表示中最大值，
下面分三种情况讨论：
当时，，由（2）知：在递减，
所以在上的取值范围是，
所以，
，
所以，
由（2）可得，，
当时，，
故，
所以在上的取值范围是，
所以
，
当时，，
故，
所以在上的取值范围是，
所以
，
综上：当时，g在区间上的最大值不小于.
18．(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）对函数求导得到导函数表达式，求出切点后计算切线的斜率，再运用点斜式写出切线方程.
（2）利用导函数判断函数的单调性，并根据导函数零点与参数的关系，对参数进行分类讨论，结合函数在区间内的最小值符号，运用函数最值与恒成立条件之间的关系，确定参数的取值范围.
（3）将不等式两边进行代数变形，构造函数，利用导数研究新函数的单调性与最小值，通过分析函数的最小值非负来证明原不等式成立
【详解】（1）对求导得：
计算得，故切点为；
切线斜率，故切线方程为：.
（2）由（1）可得，
即的单调性由临界点决定，分类讨论：
若即：对任意在单调递增，
故，满足条件；
若即时在区间上单调递减，
时在区间上单调递增，
此时最小值为，
设单调递减，
故，即，不满足条件，
综上，的取值范围为：.
（3）当时，，
原不等式等价于：
令，令，不等式转化为，
令，，令，即，解得，
时，，在区间上单调递增，
时，，在区间上单调递减，
故是函数的极小值点，即，
故对任意，恒成立，因此原不等式成立，
即得证.
19．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程求解即可.
（2）当时求出及导数，判断其单调性，不妨设，则要证明，即证，，即证，结合，即只需证明，从而令，，求其导数，判断单调性，即可证明结论.
（3）利用导数判断函数的单调性，从而将化为，构造函数，判断其单调性，得到在上恒成立，分离参数求函数最值即可.
【详解】（1）已知，则.
因为曲线在处的切线的方程为，
所以，，
所以，.
（2）当时，，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
由于，且，故不妨设，
则要证明，即证，而，
当时，单调递增，故只需证，
又，所以只需证.
令，，
则，.
所以. 当时，，
所以在上单调递减，故.
即当时，，即有，
故原命题成立，即.
（3）因为，，所以，，
故函数在上单调递增.
不妨设，则可化为.
设，则，
所以在上单调递增，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，当时，，
故在上单调递增，所以当时，，
所以，故的取值范围为.
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