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专题：函数及其性质（基础与提升）-2026年高考数学复习系列
一、单选题
1．已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（ ）
A．－5 B． C．－1 D．1
2．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，其中为函数的导数，则（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
8．下列函数中，既满足，又满足的为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数在R上严格单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．
C．的单调递减区间为 D．的值域
11．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数和，是同一个函数
C．幂函数在是减函数
D．函数的图象关于点成中心对称
三、填空题
12．函数，为常数，若，则的值为______．
13．已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______．
14．已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知，函数满足为奇函数.
(1)求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性；
(2)若不等式成立，求实数可取的最小整数值.
16．已知是定义域为的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)用定义证明在上是增函数：
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求关于的不等式的解集.
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求b的值与函数的解析式；
(2)设且.判断函数在上的单调性，及求的取值范围.
(3)若，使成立，求实数k的取值范围.
19．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”．
(1)设，求的“负倒域区间”；
(2)已知定义域为的函数．
①求函数在内的“负倒域区间”；
②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”．
《专题：函数及其性质（基础与提升）-2026年高考数学复习系列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B A D BD ABD
题号 11
答案 BD
1．C
【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值.
【详解】令，则，因为是奇函数，所以.
因为，所以，所以，
所以.
2．D
【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减，
函数在上不可能单调递减，故在上单调递增，
，解得，
的取值范围是．
3．B
【分析】由题干等式得出，结合函数的单调性得出，构造函数，其中，利用零点存在定理得出，且，进而得到，于是得出，结合对勾函数的单调性可得出满足条件的最小整数的值.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
由，所以，
因为是方程的解，则，可得，
构造函数，其中，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，所以函数的零点在区间上，
即，且，即，所以，
所以，
构造函数，则函数在上为减函数，且，，
所以，故满足的最小整数为.
4．D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性结合对数运算、对数函数的性质比较函数值大小即可.
【详解】因为函数满足，
又，所以，
因为，且函数在区间单调递增，
所以.
5．C
【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得.
【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为，
旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应，
由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标，
所以关于的方程对任意的至多只有一个解，
所以方程至多只有一个解，
即曲线与直线至多只有一个交点，
只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数），
当时，在，上都单调递增，且值域都为R，
此时与恒有两个交点，不合题意；
当时，在，上都单调递增，值域分别为，，
此时与至多有一个交点，符合题意；
当时，，
若时，则，
当且仅当，即时取等号，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若时，则，
当且仅当，即时取等号，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时与的交点可能有个，不合题意，
综上.
6．B
【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可.
【详解】因为的值域为，
所以当时，恒成立，
而，则，即，
令，由一次函数性质得在上单调递增，
当时，，可得，
因为，所以，
而，可得，且的值域为，
则当时，，
由二次函数性质得的对称轴为，，
当时，解得，此时，解得，
可得实数的取值范围是，
当时，解得，此时，
可得实数的取值范围是，
综上可得，实数的取值范围是，故B正确.
7．A
【详解】因为，故为奇函数，
因此；
求导得，易知为偶函数，故；
因此原式.
8．D
【详解】A选项，，不满足，故A不符合题意；
B选项，，不满足，故B不符合题意；
C选项，，不符合（），故C不符合题意；
D选项，，，
故D符合题意.
9．BD
【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项.
【详解】因为，所以.
因为在R上严格单调递增，
所以.
选项A：例如，，满足，
但，故A错误.
选项B：由，得，即，故B正确.
选项C：由，得，即，故C错误.
选项D：由且，两式相加得：，故D正确.
10．ABD
【分析】A.由求解；B. 根据函数为奇函数，由求解；C.利用指数函数的单调性求解；D.由时，，得到，再由是奇函数求解.
【详解】A.由，得，所以的定义域为，故正确；
B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即，解得，经检验，符合题意，正确；
C. 当时，，且在上递增，则在上递减，
所以在上递减，又是奇函数，
所以的单调递减区间为和，错误；
D.由选项B可知，，当时，，则，
所以，又是奇函数，当时，，
所以的值域，正确.
11．BD
【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数的定义域为，则，，可得函数和是同一个函数，B正确；
对于C，幂函数在是增函数，C错误；
对于D，，其图象由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
且图象关于原点对称，故函数的图象关于点成中心对称，D正确．
12．
【详解】因为，所以，
则，
可得，而，
得到，解得.
13．
【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可.
【详解】如图所示：
由方程即有四个不同解，
即的图象与有四个不同的交点，由图可知，
不妨假设，由图可知，
又由图可知，
故，解得：，
又，结合图象可知，所以，
所以，
设，
任取，且，
则
，
因为且，
所以且，
所以，
所以在上单调递减，
所以即，即，
所以.
14．2
【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为函数为幂函数，
则，解得或，
又因为，可知为奇函数，则，可得，
又因为，即，可得，
则，即，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以的最小值为2.
15．(1)，证明见解析
(2)6
【分析】（1）根据奇函数的定义列方程可解得，进而根据定义可判断的单调性；
（2）首先求出函数值为对应自变量的值，再结合单调性列不等式即可求解.
【详解】（1）因为为奇函数，
所以所以.
由可得，
解得.
在上是增函数，证明如下：
因为，所以.
任取，则，
由得，所以，所以，
故函数在上是增函数.
（2）令，可得，解得，即有
所以，即，
又在上是增函数，所以，解得，
故实数可取的最小整数为6.
16．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由求出值并验证即得.
（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.
（3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解.
【详解】（1）由定义在上的奇函数，得，解得，
此时，，
因此函数是奇函数，所以.
（2），，
由函数是上的增函数，得，，
则，即，所以在上是增函数.
（3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数
则，
依题意，对任意，不等式恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
17．(1)偶函数
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，把不等式转化为，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
可得，
令，可得其定义域为，关于原点对称，
且，所以为偶函数，
所以函数为偶函数.
（2）解：由函数，
可得，
因为不等式，可得，
则满足，解得，
故该不等式解集为.
18．(1)，
(2)单调递增，
(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义求解；
（2）利用单调性的定义判断并证明的单调性；求出，利用二次函数的性质求出的范围，再利用函数的单调性即可求得的范围；
（3）利用是奇函数和增函数推得，从而将问题转化为，求出二次函数的最小值即得的范围.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，
即，所以，
因不恒为0，则，故；
（2）函数在上是增函数， 证明如下：
由（1）可得，函数，
任取，，
，
因为，所以，又，，所以，
即，所以函数在上是增函数；
，，
该函数的图象对称轴为，，则当时，取最小值1，
当时，，当时，，
则的最大值为，故，
因函数在上是增函数，故，
又，故的取值范围为.
（3）因为存在，使成立，即
又因函数是定义在上的奇函数，则不等式可转化为，
因为函数在上是增函数，所以，
依题意，，使成立，即，
因为，
因为，故当或时，取得最小值0，即，
故的取值范围为.
19．(1)
(2)①；②和
【分析】（1）根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解即可；
（2）判断出函数为奇函数，再根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解①，对的所在位置和符号情况进行分类讨论，再结合“负倒域区间”的定义与奇函数性质求解②即可.
【详解】（1）由题意得，且在上单调递增，
设的“负倒域区间”为，则，
可得，则是方程的两根，
化简得，解得或，
则的“负倒域区间”为.
（2）对于①，因为，
且，
所以，
可得是奇函数，且当时，，
当时，，则，
则由二次函数性质得在上单调递增，
设的“负倒域区间”为，
则，可得，得到是方程的两根，
化简可得方程为，解得或（其它根舍去），
则在内的“负倒域区间”为.
对于②，当异号时，设，
此时，，不符合题意，则一定同号，
而是奇函数，则讨论在的情况即可，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
当时，设的“负倒域区间”为，
则，可得，得到是方程的两根，
化简可得方程为，解得或（其它根舍去），
则在内的“负倒域区间”为，
当时，设的“负倒域区间”为，
则，此时在上单调递减，
由二次函数性质得的对称轴为，
则最小值为，可得，
解得，发现矛盾，故排除，当在上时，
由对称性可得的“负倒域区间”为，
综上可知，函数在定义域内的所有“负倒域区间”为和.
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