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19.1二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
易错点睛
如果代数式 有意义，那么x的取值范围是 .
【点睛】二次根式要求被开方数为非负数，含分母的式子要求分母不等于零.
A基础题夯实
知识点1 二次根式的定义
1.下列式子不一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子 其中一定是二次根式的有 个.
知识点2 二次根式有意义的条件
3.(2025福建中考)若 在实数范围内有意义，则x 的值可以是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.若代数式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 .
5.当x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义
知识点3 二次根式的值
6.(1)当x=5时,代数式 的值为 ; (2)当x=17时,代数式 的值为 .
知识点4 列二次根式
7.用代数式表示：
(1)面积为 S 的等腰直角三角形的直角边长；
(2)面积为 S 且两条邻边的比为2：3的长方形的长和宽.
B中档题运用
8.(2025 齐齐哈尔中考改编)若代数式 有意义，则x 的取值范围是 .
9.(2025 襄阳)已知 是整数，则自然数 m 的所有可能的值有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.求下列代数式有意义的条件：
(3)
11.已知 求x 的值.
12.小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单位：s).经过实验，发现h与t 成正比例关系(可设 而且当h=45时,t=3.
(1)试用h 表示t;
(2)分别求当h=15和h=35时，小球落地所用的时间.
C 综合题探究
13.(2025广州)【问题情境】(1)请认真阅读下面这道题的解法，并解答问题.
例：已知x，y是实数，且满足 求 的值.
解:∵x-2≥0,2-x≥0,∴x= ,y= ,∴
【拓展创新】(2)已知 求 的值.
第2课时 二次根式的性质
易错点睛
计算：
【点睛】
A基础题夯实
知识点1
1.计算:
2.利用 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
(1)3= ; (3)0.4= ;(4)0= .
知识点2
3.(2025荆州)化简:
4.化简:
5.已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
6.计算:
知识点3
7.(2025福州)已知 求x,y的值.
B中档题运用
8.(2025 白云区)若 则a 的取值范围是 .
9.实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简 (b-a-2)的结果是 .
10.若 是整数，则正整数n的最小值是 .
11.当x的值为 时， 的值最小，这个最小值为 .
12.某地气象资料表明：雷雨持续的时间t(h)可以用公式 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是 km.
13.计算:
14.已知求a,b 的值.
C 综合题探究
15.(2025宜昌)材料:①若实数a≥0,则②对于任意实数a， 请根据上面的材料，对下列问题进行探索：
(1)若等式 成立，则a 的取值范围是 ；
(2)若 求a 的值.
19.1二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
易错点睛
如果代数式 有意义，那么x 的取值范围是 x≥0且x≠2 .
【点睛】二次根式要求被开方数为非负数，含分母的式子要求分母不等于零.
A 基础题夯实
知识点1 二次根式的定义
1.下列式子不一定是二次根式的是(D)
A. B. C. D.
2.下列式子 其中一定是二次根式的有 3 个.
知识点2 二次根式有意义的条件
3.(2025福建中考)若 在实数范围内有意义，则x 的值可以是(D)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.若代数式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x≥0 .
5.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义
解:(1)x≥-1; (2)x≤2; (3)x为任意实数； (4)x>0.
知识点3 二次根式的值
6.(1)当x=5时,代数式 的值为 ；(2)当x=17时,代数式 的值为 3 .
知识点4 列二次根式
7.用代数式表示：
(1)面积为 S 的等腰直角三角形的直角边长；
(2)面积为 S 且两条邻边的比为2：3的长方形的长和宽.
解：(1)设直角边长为x，则 ∴直角边长为
(2)设长方形的长是3x,宽为2x,由3x·2x=S,得 即长是 宽为
B中档题运用
8.(2025 齐齐哈尔中考改编)若代数式 有意义，则x 的取值范围是 x>3 .
9.(2025 襄阳)已知 是整数，则自然数 m 的所有可能的值有(B)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.(教材 P T 改编)求下列代数式有意义的条件：
(3)
解:(1)x为任意实数; (2)x为任意实数; (3)x≥-2且x≠1; (4)x≥2.
11.已知 求x 的值.
解：由题意，得
∵当x=-4时,x+2=-2<0
∴x=4.
12.小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单位:s).经过实验,发现h 与t 成正比例关系(可设 而且当h=45时,t=3.
(1)试用h 表示t;
(2)分别求当h=15 和h=35时，小球落地所用的时间.
解:(1)设
依题意,得45=9k,
解得k=5
故当 h=15 m时小球落地时间
故 即
(2)当h=15时,
当h=35时,
当h=35 m时小球落地时间
C综合题探究
13.(2025 广州)【问题情境】(1)请认真阅读下面这道题的解法，并解答问题.
例：已知x，y是实数，且满足 求 的值.
解:∵x-2≥0,2-x≥0,∴x= 2 ,y= 1/8 ,∴= .
【拓展创新】(2)已知 求 的值.
解:(2)由 得 mn=10,
∴m+n=7,
第2课时 二次根式的性质
易错点睛
计算：
【点睛】
A基础题夯实
知识点1
1.计算:
2.利用 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
知识点2
3.(2025 荆州)化简:
4.化简:
5.已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
6.计算:
解：原式 解：原式 解:原式=π-3.
知识点3
7.(2025 福州)已知 求x,y的值.
解： 且
且
∴x=-4,y=2.
B中档题运用
8.(2025白云区)若 则a 的取值范围是
9.实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简 (b-a-2)的结果是 2 .
10.若 是整数，则正整数n 的最小值是 7 .
11.当x的值为 -1 时, 的值最小，这个最小值为 2 .
12.某地气象资料表明：雷雨持续的时间t(h)可以用公式 来估计，其中 d(km)是雷雨区域的直径.如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是 30 km.
13.计算:
解:原式=5+2 解：原式
=7;
解：原式 解:原式=|x-3|+x-4
=1; =2x-7.
14.已知 求a,b的值.
解：
且
由2a-4=0,解得a=2,
将a=2代入 中，
得4+b-1=0,
解得b=-3,
∴a=2,b=-3.
C 综合题探究
15.(2025 宜昌)材料:①若实数a≥0,则( ②对于任意实数a 请根据上面的材料，对下列问题进行探索：
(1)若等式 成立,则a 的取值范围是 3≤a≤7 ;
(2)若 求a 的值.
解:(1)3≤a≤7;
(2)原方程可化为|a+1|+|a-5|=8,
当a≤-1时,∴a+1≤0,a-5<0,
∴原方程化为-a-1-(a-5)=8,∴a=-2,符合题意;
∴此方程无解，故-1当-1∴a+1>0,a-5<0,
∴(a+1)-(a-5)=8,
∴a+1>0,a-5≥0,∴a+1+a-5=8,
∴a=6,符合题意.综上所述,a=-2或a=6.

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