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第一章整式的乘除同步单元综合达标测试题
北师大版2025—2026学年七年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．使乘积中不含和项的，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．若是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．若有理数、满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ）
A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和
C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，，则＝_____ ．
10．已知实数a，b满足，，且，则的值为______．
11．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______．
12．已知，则的值为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．先化简，再求值：，其中．
14．计算：
(1)．
(2)．
15．探索与思考
数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______，
(2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片1张，种纸片3张，种纸片______张；画出草图．
(3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知．求的值．
16．已知多项式的展开式中不含项．
(1)求m的值；
(2)化简：并在（1）的条件下求值．
17．配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________；
②若可配方成（、为常数），则___________．
探究问题：
（2）①已知，则___________；
②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________
拓展结论：
（3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值
18．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为　　　；
(2)若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)若，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．D
4．A
5．A
6．D
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．10
11．7
12．48或
三、解答题
13．【详解】解：
；
当时，
原式．
14．【详解】（1）解：
．
（2）
．
15．【详解】（1）解：；
（2）解：需要种纸片1张，种纸片3张，种纸片4张．
（3）解：①因为，
所以，即，
又因为，
所以．
②设，则，．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即．
16．【详解】（1）原式
，
展开式中不含项，
，
解得：；
（2）原式
；
当时，
原式．
17．【详解】解：（1）①根据题意得：；
故答案为：；
②根据题意得：，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
②
∵S为“完美数”，
又，是完全平方式，
∴也是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：13；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
18．【详解】（1）解：由图象可得：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：，
∵，
∴，
∴．
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