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安徽合肥市第八中学2026届高三下学期数学阶段检测（三）
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．5 D．20
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
4．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．若，且，则的最小值为
8．设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为3
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
10．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列为等比数列 B．
C． D．
11．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A．存在点，使得
B．直线与平面所成的最大角为
C．若不共面，则四面体的体积的最大值为
D．若，则点的轨迹的长为
三、填空题
12．已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为__________.
13．下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
14．已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为______．
四、解答题
15．已知函数，圆.
(1)若两条相邻的对称轴与C相切，求；
(2)若，是的极值点，且点有且仅有两个在C的内部，求的取值范围.
16．为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占.
(1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．
(1)求证：；
(2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．
18．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：时，；
(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．
19．已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆
(1)求，
(2)设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上
（ⅰ）求证：
（ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围
参考答案
1．A
2．B
3．A
4．D
5．B
6．C
7．C
8．D
9．AD
10．ACD
11．AC
12．
13．200
14．或
15．（1）由题，相邻对称轴间的距离为，又圆的直径为3，则，得，
又圆心，所以其中一条对称轴为，
，得，，又，.
（2）若，则的极值点满足，，得，，
又圆与轴交点分别为，
所以原题设等价于有且仅有2个的值满足，
整理得，故能且仅能取两个值，
所以，解得.
16．（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为，
因此：，解得：，
下四分位数即第百分位数，计算累计频率
频率，累计；频率，累计；
频率，累计；频率，累计。
，因此第百分位数在区间内，
计算得：下四分位数
（2）零假设：认真完成作业与成绩无关
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
，因为，
依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过0.001，
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4，
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1，
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著.
17．（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得，
所以有，即，所以，
又因为，平面，平面，
平面，又因为平面，所以；
（2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，
则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，
设，，
，，
设平面法向量为，
，，
可取，
平面的法向量为，
所以有，化简得，
所以有（舍）或者，所以．
18．（1）函数的定义域是，，
当时，；当时，．
所以，的增区间为，减区间为.
（2）要证时，，即证在上恒成立，
令，，
，
令，，
当时，，，
所以在上单调递减，所以，
则，所以在上单调递减，
所以，所以，
综上，时，；
（3）不等式等价于不等式，
由可得：，
设，，
则，
设，函数的定义域是，
，
设，则，
令，则，
时，，在上为增函数，
时，，在上为减函数，
∴在处取得极大值，而，
∴，函数在上为减函数．
于是当时，，当时，，
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故函数的增区间为，减区间为，
所以，所以，即
∴，，于是在上为减函数，
故函数在上的最小值为，
所以，所以整数的最大值为．
19．（1）由题知点，
，
又因为两椭圆离心率相同，
因此，即，
，．
（2）由（1）知，，
当斜率k不存在时，显然成立；
当斜率k存在时，设直线l为，，，，，
联立得，，
，
韦达定理，
设中点为，则，，
，
联立得，，
，
韦达定理，
设中点为，则，，
，
和Q重合，
，
，
（ⅱ）①当斜率k不存在时，，
联立得，，
联立得，，
所以，计算得，所以．
②当斜率k存在时，，，，
，
平方化简得，，
直线，
所以原点到直线的距离为，
，
，
，
，
，
综上，坐标原点O到直线距离的取值范围是．

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