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河北省唐县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．设向量，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．0
2．（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．若角，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知. 若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ）
A．4 B．4 C．8 D．
7．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、多选题
9．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ）
A．等式恒成立
B．若，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，，，则满足条件的三角形有两个
11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C．
D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
三、填空题
12．函数的最小正周期为__________.
13．已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示)
14．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
四、解答题
15．设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
16．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
17．函数（，）的部分图象如图所示，
(1)求函数的解析式;
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集.
18．记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知．
(1)求角A；
(2)若，求三角形周长的取值范围．
19．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
参考答案
1．C
【详解】因为向量，
由，可得，解得.
故选：C.
2．C
【详解】；
；
原式
.
故选：C
3．D
【详解】由题可得，
故选：D．
4．B
【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，
所以，.
故选：B
5．A
【详解】由题设，可得.
故选：A
6．D
【详解】∵B=45°，C=75°，∴,
∴,
故选：.
7．C
【详解】因为，所以，因为，则角在第四象限，
所以，
则，
故选：C．
8．C
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对.
9．BD
【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误；
对于D，若，则，故D正确；
故选：BD．
10．AB
【详解】对于选项A. ,故选项A正确.
对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确.
对于选项C. 若，
由正弦定理可得则，
则角为锐角,但不能确定角A，B是锐角.故选项C不正确.
对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确.
故选：AB
11．ABD
【详解】因为
，
对A，令，则，即的单调增区间为，
则在上单调递增，故选项正确；
对B，图象向左平移个单位长度得到，
，故选项正确；
对C，由于，故选项错误；
对D，若函数在上至少有11个零点，
即与在上至少有11个交点，
令，则或，
即或，

由于函数一个周期由两个点函数值为，
则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确.
故选：ABD
12．
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为：.
13．
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，
即，故，
故答案为：
14．.
【详解】［方法一］：【最优解】边化角
因为，由正弦定理得，
因为，所以．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
［方法二］：角化边
因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；
方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．
15．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，
所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以，
解得．
16．(1)
(2)
（1）解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由函数的图象，得，的最小正周期，
由，得，由，得，而，则，
所以函数的解析式为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得，
由，得，则，，
所以不等式的解集为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由面积公式得，即，
由余弦定理得，
所以，
则，
所以，即，
因为，则，
所以，即
（2）由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，则，
所以三角形周长为
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.

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