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河北省盐山中学2026届高三下学期高考模拟卷·数学试卷
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A．－4 B．4 C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知函数，则的极值点为（ ）
A． B．1 C．－1 D．
6．已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1；
B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16.
10．已知抛物线的焦点为，点为上一点，，延长与相交于另一点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．抛物线的准线方程为
C．的面积为 D．直线的方程为或
11．在锐角中，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
12．设，则__________.
13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________．
14．某工厂6件产品中有3件次品，现在从中随机每次抽取1件且不放回，设为抽到第2件次品时的抽取次数，则的期望为__________.
四、解答题
15．某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5
交易额百亿元 9 12 17 21 26
(1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度；
(2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额.
附：在经验回归方程中，，，，
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程及长轴长；
(2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：．
18．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，数列的前项和为；
①求；
②若恒成立，求实数的最大值.
19．已知函数，其中．
(1)若函数有处取得极大值0，求的值；
(2)函数．
（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
（ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】因，，
则
故选：D．
2．B
【详解】由题意，所以.
故选：B.
3．A
【详解】根据,得到,
则焦点在轴，故渐近线为，
则，故.
故选：A
4．B
【详解】由向量，，得，
由，得，
所以.
故选：B
5．B
【详解】因为，所以．
令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增．
可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1．
故选：B.
6．B
【详解】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，
又在区间上单调递增，所以在区间上单调递减．
因为，所以，即，
平方后解得，所以的取值范围为．
故选：B．
7．C
【详解】设圆柱的高为，
则，所以,
酒杯的体积，
半球的体积，
因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍，
所以，解得，
又因，所以，
所以，
当时，的最小值为.
故选：C.
8．D
【详解】由得，
直线经过定点，如图，
，
当直线与半圆相切时，，
所以恰有两个公共点时，由图可知，，
故选：D．
9．ACD
【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，
又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，依题意，，则，
故数据的标准差为，故D正确；
故选：ACD
10．BC
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，
因为点为上一点，，则，解得，
所以，抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，A错；
对于B选项，抛物线的准线方程为，B对；
对于C选项，易知抛物线的焦点为，
若，则点的坐标为，所以轴，故点、关于轴对称，
则点，所以，所以，
若，同理可知，C对；
对于D选项，由C选项可知，轴，故直线的方程为，D错.
故选：BC.
11．ACD
【详解】将，
利用和， ()，
化简得:展开右边并整理得，
由于为锐角三角形， (舍去的不可能情况)，故，A正确；
由且为锐角三角形，得
在上单调递增，故，
而非 ，B错误；
由，，，
表达式可化为：，
令,则，
则表达式化简为，等号在时取得，C正确；
表达式，又，
则表达式化简为，令，
则表达式为，等号在时取得，D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】，则，，所以.
故答案为：
13．
【详解】由题意有在上恒成立，
又，所以，即，
所以只需在上恒成立即可，
即在上恒成立，即，
又在上单调递减，所以，
故答案为：.
14．
【详解】由题意可知：的取值为.
.
15．(1)非常接近1，说明变量与的线性相关程度很强
(2)，38.5百亿元
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得，，
，，
，
故，
所以，
非常接近，说明变量与的线性相关程度很强.
（2）由（1）可得，，，，
所以，
则.
可得关于的经验回归方程为，
令，可得，
所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元.
16．（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：底面为菱形，，
底面，平面，
又，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，
.
底面，是直线与平面所成的角为，
在中，由，解得.
如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴
建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，.
由，取，得；
由，取，得.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．(1)椭圆的方程为，椭圆的长轴长为
(2)证明过程见解析
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为；
（2）
由题意知斜率存在，设，
联立与得，，化简得，
由韦达定理得，，
所以，
而直线，从而，
因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称，
根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称，
所以，而，
所以，显然，所以，
所以直线的方程为，
联立与，得，
即，
化简得，即，
因为，所以，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)①；②16
【详解】（1）点在函数的图象上，
，，
数列是“平方递推数列”，
因为，
对两边同时取对数得，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）①由（1）知，所以，
则，
.
两式相减可得，
；
②恒成立，
恒成立，
恒成立，恒成立，
又，当且仅当时，取到等号，
，即.
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ii）
【详解】（1），得，
由题设知，解得，
此时
当时，为增函数；
当时，为减函数；
所以函数在处取得极大值，满足题意，
故．
（2）（i）函数．
由，得，
设点和点，不妨设，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
同理曲线在点处的切线方程为；
假设与重合，则，
化简得，
两式消去，得，则，
令，，
由，所以在上单调递增，
所以，即无解，所以与不重合，
即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
（ⅱ）当时，先解决对于恒成立，
令，则在上恒成立，
由，解得．
下面证明当时，在上恒成立．
则当时，，
令，则，
则当时，由，
则，则在上单调递增，所以；
当时，令，
则，则在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以成立，
所以对于，不等式恒成立，
实数的取值范围为．
所以，使得成立，的取值范围为．

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