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2025～2026学年高二第二学期阶段一测试
高二数学试题 2026.03
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知数列 满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C． D．
2．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（ ）
A．7 B． C． D．
3．曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
5、已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 是定义域为 的函数 的导函数，且函数 的图象如图所
试卷第 1页，共 3页
示，则（ ）
A． 在 上为增函数 B． 的最小值为
C． 的极大值为 ，极小值为
D． 的极小值点为 0，极大值点为 1
7、设数列 是以 2为首项，1为公差的等差数列， 是以 1为首项，2为公比的等比数
列，则 （ ）
A．264 B．520 C．521 D．263
8．已知数列 的前 n项和为 ，前 n项积为 ，若 ，当 取最小值时，
＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．若 为数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确的是
A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，曲线 在点 处的切线方程为
B．当 时，曲线 在点 处的切线方程为
C．当 时，曲线 上不存在斜率为 0的切线
D．当 时，曲线 在点 处的切线斜率为 0
11、已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
试卷第 1页，共 3页
A．函数 在 上单调递增，在 上单调递减
B．
C．若不等式 在 上恒成立，则实数 a的取值范围是
D．当 时，若方程 有且只有一个根，则 或
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．记 为等比数列 的前 项和，若 ， ， 成等差数列，则等比数列 的公比
为________．
13．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 ，其中 为蜥蜴的体温（单
位：℃）， 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为
_________℃/min.
14．函数 ，过点 ， ，可以作函数 的两条切线，求实数 的
取值范围______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最值．
16．（15分）已知数列满足 ，且对任意的 ，都有 .
(1)令 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式及数列 的前 项和 .
17．（15分）记数列 的前 项和为 ，已知 为常数列.
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(1)求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 .
18、（17分）已知函数 在 处有极值为 .
(1)求 ；
(2)已知数列 的前 项和 ，满足 = ，记 求 .
19、（17分）已知函数 ，
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
(3)求证：当 时， 存在极大值，且极大值小于 ．
试卷第 1页，共 3页2025-2026学年第二学期阶段测试一数学答案
1、依题意得 ．
故数列 的周期为 3，所以 ．
2、设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .故选：B.
3、设 ，则 ，
设 在 处的切线的倾斜角为 ，
由导数的几何意义得 ，
而 ，可得 ，故 B正确.故选：B
4、 ，
又因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以切线斜率 ，解得 ．故选：D．
5、依题意， ，
令 ，得 ，
，
所以
，
当 时上式也符合，所以 ，则 ，
所以 .
1
6、由图像可知，当 时， ，所以 .
所以 ，所以 在 上为减函数，A错误；
当 时， ，所以 .
所以 ，所以 在 上为增函数，
当 时， ，所以 .
所以 ，所以 在 上为减函数，所以 的最小值为 或 ，B错误；
因为 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，极大值点为 1，极小值点为 0，所以 C错误 D
正确；故选：D.
7、由数列 是以 2为首项，1为公差的等差数列，
可得 ，
由 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
可得 ，则 ，
所以 ．
8、由 得：
，
两式相减整理得 ，
又易得 ,
故 是首项为 ，公比为 2的等比数列，
所以 ， ，可知 ，
则 ，即当 时， 取得最小值.
因为当 时， ；当 时， ，
2
所以 时， 取最小值，此时 ．
9、因为 为数列 的前 项和，且 ，
所以 ，因此 ，当 时， ，即 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 C正确；
因此 ，故 A正确；
又 ，所以 ，故 B错误；
因为 ，所以数列 不是等比数列，故 D错误.故选：AC.
10、对于 AB,当 时， ，有 ，又 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，故 错误，B正确；
对于 CD，当 时， ，则 ，显然 ，
即曲线 在点 处的切线斜率为 0，故 C错误，D正确．故选：BD．
11、对于选项 A，由 ，得 ，令 ，得 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，故选
项 A错误；
对于选项 B， ，因为 ，
而函数 在区间 上单调递减，所以 ，
即 ，故选项 B正确；
对于选项 C，不等式 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ， ，则 ，
令 ，得 ，所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
3
所以 在 处取得最大值，最大值为 ，所以 ，故选项 C
正确；对于选项 D，方程 在 上有且只有一个根，等价于 在 上
有且只有一个解.
令 ， ，由选项 C分析知， 在 上单调递增，在 上单
调递减. ， ， ，
因为 ，所以当 或 时， 与 的图象在 上有且只
有一个交点，
即当 时，若方程 有且只有一个根，则 或 ，故选
项 D正确.故选：BCD
12、设公比为 ，由题意得 ，即 ，
所以 ，故 ，又 ，解得 .
13、 ， ， ，
即当 min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ℃/min.故答案为： .
14、设切点坐标为 ，因为 ，所以切线的斜率 ，
所以切线方程是 ，因为切线过点 ，
所以 ，即 ，
因为过点 可以作曲线的两条切线，所以方程 有两个不同的根，
所以 ，解得 或 .故答案为： .
15、（1）定义域为 ，..........1分 ，..........2分
令 ，得 ，
4
列表如下：
2
0
↗ ↘
.........4分由上表知，在 上， 单调递增；
在 上， 单调递减；
∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；..........5分
（2） ， ，..........7分
∵ ，∴ ，..........9分
由（1）知， 在 上递增，在 上递减，
∴当 时， 取最大值 ；..........11分
∴当 时， 取最小值 ...........13分
16、（1）因为 ，即 ，
又 ，即 ，..........2分又 ，所以 ，..........4分
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；..........6分
（2）由（1）可得 ，所以 ，..........9分
所以 .
（15分）
17、（1）由 ，可得 ，..........1分
又 为常数列，所以 ，即 ，..........3分
当 时， ，
5
所以，当 时， ，..........5分又 ，
所以 是以 1为首项，2为公比的等比数列，故 ；..........7分
（2）因为 ，所以 ， ，..........9分
，
，..........11分
所以 ..........13分
，
所以 ..........15分
18、（1） ..........2分
由题意得： 化简得： ...........4分
化简得： .
联立方程代入求解得： 或 ...........6分
当 此时 ，导数在 处不变号，不是极值点，舍去；
当 此时 ，导数在 处左右符号变号，是极值点.
；..........8分
（2）由（1）得 ，故 ， ...........9分
当 时， ；..........10分
当 时， =
而 不满足上式， ...........12分
时，
6
=
= ...........16分
且 也满足上式， ...........17分
19、（1）由 可得 ， ，..........1分
则 ，由题意，可得 ，解得 ，
即 ；..........3分
（2）由 在区间 上单调递增，可知 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，也即 在区间 上恒成立...........5分
因函数 在区间 上为增函数，故 ，..........7分
则 的取值范围为 ；..........8分
（3）因 ，要使 存在极大值，需使关于 的方程 有
正实根，
而当 时， ，此时方程有两正根为 ，..........9分
由 可得 或 ，由 可得
，
故函数 在 和 上单调递增，在 上
单调递减，
故当 时，函数 取得极大值...........11分
不妨设 ，由 可得 ，即得
，
则 的极大值为 ，且因 ，则得 ，......13分
要证函数的极大值小于 ，只需证 ，
7
设 ，则 ，
因 ，则有 ，故函数 在 上单调递增，
则 ，
即 ，..........16分
故 时，函数 的极大值小于 ...........17分
8

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