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(共12张PPT)
第1课时　角平分线(一)
1.角平分线上的点到　 的距离相等。
符号语言:
如图,∵DC平分∠ADB,PE⊥DA,PF⊥DB,
∴PE=PF。
相关结论:
△DPE≌△DPF,DE=DF。
注:这里的距离是指点到角的两边的垂线段的长度。
这个角的两边　
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在　 上。
符号语言:
如图,∵PE⊥DA,PF⊥DB,PE=PF,
∴点P在∠ADB的平分线上,
即DP平分∠ADB。
注:①此结论是角平分线的判定,它与角平分线的性质是互逆的命题。
②此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等,那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角。
这个角的平分线　
3.角平分线相关模型
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF。求证:
(1)CF=EB;
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC。
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB。
(2)AB=AF+2EB。
(2)由(1)知CD=DE。
在Rt△ADC和Rt△ADE中,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB。　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图,已知∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,
PD=3 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为(　　)
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
B
2.(2025·重庆西附)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CD⊥AD,点E在边AD上,且满足∠CED=∠B。
(1)求证:CB=CE;
(1)证明:如答案图,过点C作CH⊥AB于点H。
∵AC平分∠BAD,CD⊥AD,CH⊥AB,∴CH=CD。
∵∠CHB=∠D=90°,∠B=∠CED,
∴△CBH≌△CED(AAS),∴CB=CE。
(2)若∠CAB=55°,AB=CE,求∠ACE的度数。
(2)解:∵AC平分∠BAD,∴∠CAD=∠CAB=55°。
∵∠D=90°,∴∠ACD=90°-55°=35°。
∵AB=CE,CB=CE,∴AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC=55°,
∴∠B=180°-55°-55°=70°,∴∠CED=70°,
∴∠DCE=90°-70°=20°,
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=15°。
如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等。求证:AD平分∠BAC。
证明:如答案图,分别过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N。
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等,
∴=。
又∵CE=BF,
∴DM=DN,且DM⊥AB,DN⊥AC,
∴AD平分∠BAC。
3.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,以下结论:①DE=BE;②点E是BC的中点;③∠AED=90°;④AD=AB+CD。正确的有(　　)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
D
4.如图,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,DB=DC。求证:AD是∠BAC的平分线。
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
BE=CF,BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF。
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线。(共32张PPT)
1.2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形(一)
1.等腰三角形的相关概念(如图1)腰、底边、顶角、底角的含义。
符号语言:
如图1,∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形。
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两底角 ,简述为:　 　。
符号语言:
如图2,在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C。
(2)等腰三角形顶角的平分线、　 、
　 重合,简述为:“三线合一”。
符号语言:
如图2,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD(三线合一)。
或在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∠BAD=∠CAD(三线合一)。
或在△ABC中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,∴BD=DC,AD⊥BC(三线合一)。
相等
等边对等角
底边上的中线　
底边上的高线　
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴。
3.等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三角形。
4.等边三角形的性质
①三边相等,三个内角都相等,并且每个角都等于　 　°;
②等边三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别互相　 　;
③对称性:是轴对称图形,有　 　条对称轴,分别为三边上的中线(或高或三条角平分线)所在直线。
60
重合
3
(1)①若等腰三角形的一个内角为40°,则其他两个内角分别为　
;
②若等腰三角形的周长为30 cm,一边长为7 cm,则另外两边长分别为　 ;
③等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角度数为　 ;
70°和70°或100°和40°　
11.5 cm和11.5 cm　
69°或21°　
(2)如图,在△ABC中,∠B=63°,点D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,且AB=AD=DE=EC,则∠C的度数是(　　)
A.21° B.19° C.18° D.17°
A
1.(2025·西藏)如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,点D是BC延长线上的一点,∠ACD=110°,则∠A的度数为(　　)
A.70° B.55°
C.40° D.35°
C
2.已知:如图,AB=AC=AD,且AD∥BC。求证:∠C=2∠D。
证明:∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,
∠D=∠ABD。
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠D,
∴∠C=2∠D。
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE。
求证:(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD。
证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠BDA=∠CEB=∠AEF=90°。
∴∠B+∠EAF=90°,∠B+∠ECB=90°。
∴∠EAF=∠ECB。
又∵AE=CE,∴△AEF≌△CEB(ASA)。
(2)由(1)知△AEF≌△CEB,∴AF=CB。
∵AB=AC,AD⊥BC,∴CD=BD,即CB=2CD,∴AF=2CD。
3.在等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则△ABC的面积为　 　。
4.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,在AC上有一点E,连接BE并延长BE至点F,使BF=BC,连接AF,AF=CE,∠CBF=∠FAC。
(1)求证:△ABF≌△EBC;
(1)证明:∵∠FAC+∠F=∠CEF
=∠CBF+∠C,∠CBF=∠FAC,
∴∠F=∠C。
∵AF=EC,BF=BC,
∴△ABF≌△EBC(SAS)。
48
(2)若AC=12,AF=9,求AD的长度。
(2)解:由(1)知△ABF≌△EBC,
∴AF=EC=9,AB=EB。
∵AC=12,∴AE=AC-EC=12-9=3。
∵BD⊥AC于点D,∴AD=ED=AE=×3=。
如图,在等边△ABC中,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P,若AE=CF。
(1)求证:AF=BE;
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AC=AB,∠C=∠BAC=60°。
又∵CF=AE,
∴△CFA≌△AEB(SAS),
∴AF=BE。
(2)求∠APE的度数。
(2)解:由(1)知△CFA≌△AEB,
∴∠CAF=∠ABE。
在△ABP中,∠APE=∠ABE+∠PAB,
∴∠APE=∠CAF+∠PAB=∠BAC=60°。
[知识总结] 等边三角形的三边相等,三个角都是60°,利用等边三角形的这些性质可以帮助我们解决许多与之相关的边角问题。
5.如图,在四边形ABCD中,△ABD是等边三角形,BC=BD。若∠BAC=18°,则∠CBD的度数为　 　。
6.如图,BD为等边△ABC的边AC上的中线,E为BC延长线上一点,且DE=DB。若AB=6 cm,则CE=　 　cm。
84°
3
第2课时　等腰三角形(二)
1.等腰三角形的判定方法
方法①:用定义判定,有两边相等的三角形是等腰三角形。
符号语言:
如图,在△ABC中,∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形。
方法②:用判定定理判定,有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为:　 。
符号语言:
如图,在△ABC中,∵∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边)。
等角对等边　
2.证明一个命题是假命题,只需举出一个　 　。
3.反证法及其一般步骤
(1)先假设命题的结论　 ;
(2)从假设出发,结合已知条件,根据已学过的定义、基本事实、定理推导出与已学过的定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;
(3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定原命题的结论　 　。
反例
不成立 　
成立
(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC,则上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 　 ;(用序号写出所有情况)
①③,①④,②③,②④　
(2)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F。求证:△AFC为等腰三角形。
证明:在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA。
∵∠BAD=∠BCE,∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,∴△AFC为等腰三角形。
1.如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F,G。若FG=3,ED=7,则DB+EC的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.9
B
2.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,点E在边AC上,且BD=CE,∠BAD=∠CDE,
∠ADE=∠C。
(1)如图1,求证:△ADE是等腰三角形;
(1)证明:∵∠ADE=∠C,∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE,
∠DEC=180°-∠CDE-∠C,
∴∠ADB=∠DEC。
在△ADB与△DEC中,
∴△ADB≌△DEC(AAS),∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形。
(2)如图2,若DE平分∠ADC,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中所有与∠CDE相等的角(∠CDE除外)。
(2)解:图中所有与∠CDE相等的角有∠B,∠C,∠ADE,∠BAD。
用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角。
证明:假设等腰△ABC的两底角∠B,∠C都是直角或钝角,则∠B+∠C≥180°,
所以∠A+∠B+∠C≥∠A+180°>180°,这与三角形的内角和等于180°相矛盾,所以假设不成立。
故等腰三角形的底角都是锐角。
[易错提示] 利用反证法证明时,要考虑全面,必须把命题反面的各种情况一一列举出来,将其全部否定后,才能肯定原命题正确,同时还要切记证明过程中每一步都要有理有据。
3.用反证法证明命题:“在△ABC中,若BC>AC,则∠A>∠B”,应先假设
(　 　)
A.∠A=∠B B.∠A<∠B C.∠A≤∠B D.BC≤AC
4.用反证法证明:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
已知:如图,直线a∥b,b∥c。
求证:a∥c。
证明:假设直线a不平行于直线c,则直线a必与直线c相交,设交点为P,如图,
而条件中a∥b,b∥c,即经过点P有两条直线都与直线b平行,这与定理“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾,
所以,假设不成立。故原命题a∥c成立。
C
第3课时　等腰三角形(三)
1.等边三角形的判定
(1)三条边都　 　的三角形是等边三角形;
(2)三个角都　 　的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于　 　 的等腰三角形是等边三角形。
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于　 。
符号语言:如图,在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB。
相等
相等
60°
斜边的一半　
如图,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E,求证:△ACE是等边三角形。
证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=120°,
∴∠1=∠2=∠ACB=60°,∠4=180°-∠ACB=60°。
∵AE∥DC,∴∠3=∠2=60°,∠E=∠1=60°,
∴∠3=∠E=∠4=60°,∴△ACE是等边三角形。
1.下列推理中,不能判断△ABC是等边三角形的是(　　)
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°,∠B=60°
D.AB=AC,且∠B=∠C
2.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在点C'处,连接BC',那么BC'的长为　 　。
D
3
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N。若AN=1,则BC的长为　 　。
6
如图,在等边△ABC中,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ。
证明:在等边△ABC中,AB=CA,∠BAE=∠C=60°。
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAE=60°。
又∵BQ⊥AD,∴∠PQB=90°,
∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ。
[方法点拨] 当问题中出现直角及30°(60°)时,可利用“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”来证明线段的倍分问题。
3.如图是某商场一部手扶电梯的示意图,若∠ABC=150°,BC长为8米,则乘电梯从点B到点C上升的高度h=　 　米。
4.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC延长线上一点,DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F。若CD=3AE,CF=6,则AC的长为　 　。
4
10(共16张PPT)
第2课时　角平分线(二)
1.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离　 　。
2.作已知角的平分线的方法有很多,主要有折叠法和尺规作图法,其中尺规作图法的依据是“SSS”和全等三角形对应角相等的性质。
用尺规作已知角的平分线如图所示。
相等
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作OD⊥BC于点D,△ABC的周长为18,OD=4,则△ABC的面积是　 　;
(2)如图2,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,∠A=64°,则∠BOC的度数为　 　。
36
122°
1.如图,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4,6,8,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAC∶S△OAB∶S△OBC=　 　。
3∶2∶4
2.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,过点O作OE⊥BC于点E。
(1)求证:∠BOD=∠COE;
(1)证明:由题知∠BOD=∠OBA+∠OAB=(∠ABC+∠BAC)
=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB。
∵OE⊥BC,
∴∠COE=90°-∠OCB=90°-∠ACB,
∴∠BOD=∠COE。
(2)若AB=15,AC=8,BC=17,求OE的长。
(2)解:∵AB=15,AC=8,BC=17,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,
∴S△ABC=AB·AC=OE·(AB+AC+BC),
∴OE==3。
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°。在线段AC上求作一点D,使得CD=AD。小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D,点D即为所求。
(1)使用直尺和圆规,依小明的思路作出点D(保留作图痕迹);
解:(1)作图如答案图所示。
(2)完成下面的证明。
证明:∵∠A=30°,∠C=90°,∴∠ABC=　 。
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°,
∴∠ABD=∠A,∴AD=　 　。
在Rt△BCD中,∠CBD=30°,
∴CD=BD(_______________________________________________________
____________________)(填推理依据)。
∴CD=AD。
60°　
BD
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的
直角边等于斜边的一半　
3.如图,已知Rt△AOB的顶点O(0,0),∠AOB=90°,点B在x轴正半轴上,点A在y轴正半轴上,按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,连接AP,交BO于点C。过点C作CD⊥BO交AB于点D。若CD=2,∠ABO=30°,则点A的坐标为(　　)
A.(0,3) B.(0,4)
C.(0,5) D.(0,6)
A
4.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠ACB=70°,根据图中尺规作图的痕迹推断,以下结论错误的是(　　)
A.∠BAQ=40°
B.DE=BD
C.AF=AC
D.∠EQF=25°
D
已知点P为∠EAF的平分线上一点,PB⊥AE于点B,PC⊥AF于点C,点M,N分别是射线AE,AF上的点。
(1)如图1,当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时,且PM=PN,求证:BM=CN;
(1)证明:∵点P为∠EAF的平分线上一点,PB⊥AE于点B,PC⊥AF于点C,
∴PB=PC。
又∵PM=PN,∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL),
∴BM=CN。
(2)在(1)的条件下,直接写出线段AM,CN与AC之间的数量关系;
(2)解:AM+CN=AC。
(3)如图2,当点M在线段AB的延长线上,点N在线段AC上时,且∠MAN+∠MPN=180°。若AC∶PC=2∶1,PC=4,求四边形ANPM的面积。
(3)解:∵AC∶PC=2∶1,PC=4,∴AC=8。
∵PB⊥AE,PC⊥AF,∴∠ABP=∠ACP=90°,
∴∠MAN+∠BPC=180°。
又∵∠MAN+∠MPN=180°,
∴∠BPC=∠MPN,∴∠CPN=∠BPM。
在△PBM和△PCN中,
∴△PBM≌△PCN(ASA),
∴S四边形ANPM=S四边形ABPC=2S△ACP
=2××8×4=32。
5.如图,在△ABC中,∠A=90°,BE,CD分别平分∠ABC和∠ACB,且相交于点F,EG∥BC,CG⊥EG于点G,则下列结论:①∠CEG=2∠DCA;②CA平分∠BCG;③∠ADC=∠GCD;④∠DFB=∠A;⑤∠DFE=135°。其中正确的结论是　 　。(填序号)
①③④⑤
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,连接AO。
(1)求证:△BOC是等腰三角形;
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB。
∵点O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∴△BOC是等腰三角形。
(2)BM与CN相等吗 请说明理由;
(2)解:BM=CN。理由如下:
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,
∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,
∴AB-AM=AC-AN,即BM=CN。
(3)求证:AO⊥MN。
(3)证明:∵点O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点,
∴在△ABC中,AO也是∠BAC的平分线。
又∵AM=AN,∴AO⊥MN。(共21张PPT)
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形的内角和
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于　 　。
2.一般三角形全等的判定方法有　 。
注:①三个角对应相等的两个三角形　 　(填“一定”或“不一定”)全等;
②两边对应相等且其中一边的对角对应相等的两个三角形　 　(填“一定”或“不一定”)全等,即:边边角(SSA)不能判定两个三角形全等。
3.全等三角形的对应边　 　、对应角　 　。
180°
SAS,SSS,ASA,AAS　
不一定
不一定
相等
相等
求证:∠A+∠B+∠C=180°。
下面是小明与小颖的想法。
小明的想法:把三个内角“凑”到点A处,过点A作直线PQ∥BC(如图2)。下面是他写的证明过程,请你在括号内填写依据。
证明:过点A作直线PQ∥BC,
则∠1=∠B,∠2=∠C。(　 )
∵∠1+∠BAC+∠2=180°,(平角的定义)
∴∠B+∠BAC+∠C=180°。(　 )
在学习《三角形内角和定理》时,张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理。
已知:如图1,△ABC。
两直线平行,内错角相等　
等量代换　
小颖的想法:从之前撕角的验证过程中得到了思路启发(如图3),在线段AC的右侧作∠ACE=∠A(如图4)。你认为她的想法可行吗 如果可行,请写出证明过程;如果不可行,请说明理由。
解:小颖的想法可行,证明如下:
∵∠ACE=∠A,
∴AB∥CE,
∴∠B+∠BCE=180°,
即∠B+∠BCA+∠ACE=180°,
∴∠B+∠BCA+∠A=180°。
1.如图,已知DE∥AC,∠A=∠DEF。
(1)求证:EF∥AB;
证明:(1)∵DE∥AC,∴∠A=∠BDE。
∵∠A=∠DEF,∴∠BDE=∠DEF,∴EF∥AB。
(2)各位同学,七年级已经学习过“三角形内角和为180°”,利用图形,试证明此定理,即证明:∠A+∠B+∠C=180°。
(2)∵DE∥AC,EF∥AB,
∴∠C=∠DEB,∠B=∠CEF。
∵∠DEB+∠DEF+∠CEF=180°,∠A=∠DEF,
∴∠A+∠B+∠C=180°。
如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,AE是∠CAB的平分线,交BD于点E,∠AED=60°,∠CBA=40°,求∠C的度数。
解:∵BD⊥AC,∴∠ADE=90°。
∵∠AED=60°,
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED
=180°-90°-60°=30°。
∵AE是∠CAB的平分线,
∴∠CAB=2∠CAE=2×30°=60°。
∵∠CBA=40°,
∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=80°。
2.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时,我们称此三角形为“希望三角形”,其中角α称为“希望角”。如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°,那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 。
54°或84°或108°　
3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=70°,AD是BC边上的高,AE是△ABC的角平分线。
(1)求∠DAE的度数;
解:(1)∵在△ABC中,∠BAC=60°,AE是∠BAC的平分线,
∴∠EAC=∠BAC=30°。
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-∠ACB=90°-70°=20°,
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=30°-20°=10°。
(2)若CF是△ABC的角平分线,AE与CF交于点G。求∠EGF的度数。
(2)∵CF是△ABC的角平分线,
∴∠ACF=∠ACB=×70°=35°。
∵∠EAC=30°,
∴∠AGC=180°-∠EAC-∠ACF=115°,
∴∠EGF=∠AGC=115°。
已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM。
求证:∠B=∠ANM。
证明:∵∠BAC=∠DAM,
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠NAM,
∴∠BAD=∠NAM。
又∵AB=AN,AD=AM,
∴△ABD≌△ANM(SAS),∴∠B=∠ANM。
[方法归纳] 利用三角形的全等来解决线段或角相等是常见题型。在证明三角形全等时,要注意公共角、公共边及对顶角等隐含条件的运用。
4.如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是(　 　)
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
B
5.如图,点E在△ABC的边AC上,且∠ABE=∠C,AF平分∠BAE交BE于点F,FD∥BC交AC于点D。
(1)求证:△ABF≌△ADF;
(1)证明:∵FD∥BC,∴∠ADF=∠C。
又∵∠ABF=∠C,
∴∠ABF=∠ADF。
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠DAF。
在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF(AAS)。
(2)若BE=7,AB=8,AE=5,求△EFD的周长。
(2)解:由(1)知△ABF≌△ADF,
∴AD=AB=8,BF=DF。
∵AE=5,∴DE=AD-AE=8-5=3,
∴△EFD的周长=EF+DF+DE=EF+BF+DE
=BE+DE=7+3=10。
第2课时　三角形的外角
1.三角形外角的定义
△ABC内角的一条边与另一条边的　 组成的角,称为△ABC的外角。
2.三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角　 　和它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角　 　任何一个和它不相邻的内角。
反向延长线　
等于
大于
(1)如图1,已知D为BC上一点,∠B=∠1,
∠BAC=70°,则∠2的度数为(　　) 　
A.110° B.70° C.60° D.80°
(2)如图2,射线BD,AE分别是△ABC的外角∠ABF,∠CAG的平分线,射线BD与直线AC交于点D,射线AE与直线BC交于点E。若∠BAC=∠ABC+102°,∠D=∠E+27°,则∠ACB的度数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.38° B.42° C.48° D.50°
B
B
1.如图,线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A三点,则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N
的度数是(　　)
A.180° B.360° C.540° D.720°
2.如图,在△ABC中,∠B=50°,P为BC上一点,且∠1=∠2,则∠APD=　 。
B
50°　
如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=35°,∠C=65°。
(1)求∠DAE的度数;
解:(1)∵∠B=35°,∠C=65°,
∴∠BAC=180°-35°-65°=80°。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=35°+40°=75°。
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-75°=15°。
(2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,∠B=α,∠C=β(α<β),请用含α,β的代数式表示∠DFE。
(2)∵∠B=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-α-β。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=90°-α-β,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=90°+α-β。
∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°,
∴∠DFE=90°-∠ADE=β-α。
3.如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=105°,则∠DAC的度数为　 　。
4.如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于　 。
230°　
80°(共20张PPT)
1.3　直角三角形
第1课时　直角三角形(一)
1.直角三角形的性质定理与判定定理
(1)直角三角形的两个锐角互余,即若△ABC中,∠C=90°,则　 。
(2)有两个角互余的三角形是　 。
2.勾股定理及其逆定理
(1)直角三角形两直角边的　 　等于　 ,即若a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,则　 。
(2)如果三角形两边的　 　等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,即若三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是　 　三角形。
注:常用勾股数:①3,4,5;②6,8,10;③5,12,13;④7,24,25;⑤8,15,17;⑥9,40,41。
∠A+∠B=90°　
直角三角形
平方和
斜边的平方　
a2+b2=c2　
平方和
直角
3.互逆命题与互逆定理
(1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　 　和 ,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的　 。
(2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为　 ,其中一个定理称为另一个定理的　 　。
注:①任何一个命题都有逆命题;②判断一个定理是否有逆定理,首先是写出这个定理的逆命题,再证明这个逆命题是否是真命题。
结论
条件
逆命题
互逆定理　
逆定理
(1)如图,在△ABC中,∠A=90°,CD是△ABC的角平分线,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E。若∠ABE=16°,则∠ABC的度数为　 　;
(2)已知四个三角形分别满足下列条件:①一个内角等于另外两个内角之和;②三个内角之比为3∶4∶5;③三边长分别为6,8,10;④三边之比为5∶12∶13。其中是直角三角形的有　 　(填序号)。
58°
①③④
1.(2025·重庆育才)以下列长度为边,能构成直角三角形的是(　　)
A.3,4,5 B.4,5,6 C.1,3,3 D.3,2,5
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=52°,将其折叠,使点A落在边BC上的点E处,CA与CE重合,折痕为CD,则∠EDB的度数是　 　。
A
14°
如图,将边长为24 cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是(　　)
A.8 cm　　 B.9 cm　　 C.10 cm　　 D.12 cm
B
3.(2025·重庆巴蜀)若直角三角形的两直角边长分别为m,n,且满足+=0,则该直角三角形的第三边长为(　 　)
A.3 B.4 C. D.5
4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,DA⊥CA于点A。求BD的长。
解:如答案图,过点A作AE⊥BC于点E。
∵AB=AC=10,BC=16,∴BE=CE=8。
在Rt△ACE中,
AE===6。
设BD=x,则DE=8-x,DC=16-x。
又∵DA⊥CA,∴AD2=AE2+DE2=DC2-AC2,
∴62+(8-x)2=(16-x)2-102,解得x=3.5。
即BD=3.5。
D
写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假。
(1)等腰三角形的两底角相等;
(2)如果a2=b2,那么a=b;
(3)对顶角相等。
解:(1)逆命题:两底角相等的三角形是等腰三角形。原命题和逆命题都是真命题。
(2)逆命题:如果a=b,那么a2=b2。原命题是假命题,逆命题是真命题。
(3)逆命题:相等的两个角是对顶角。原命题是真命题,逆命题是假命题。
5.下列命题:
①同旁内角互补,两直线平行;②若=,则a=b;③直角都相等;④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的个数是(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是_________________
_______________________,该逆命题是　 　(填“真”或“假”)命题,它们是否为一对互逆定理 　 　(填“是”或“否”)。
B
三个内角相等的
三角形是等边三角形　
真
是
第2课时　直角三角形(二)
1.直角三角形全等的判定“HL”
　 分别相等的两个直角三角形全等。(可以简述为“斜边、直角边”,用字母表示为“HL”)
符号语言:
如图,∠C=∠F=90°,
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。
2.判定两个直角三角形全等的方法
(1)“边边边”(SSS);(2)“角角边”(AAS);
(3)“角边角”(ASA);(4)“边角边”(SAS);
(5)“斜边、直角边”(HL)。
斜边和一条直角边　
如图,∠C=∠D=90°,添加下列条件:①AC=AD;②∠ABC=∠ABD;③∠BAC=∠BAD;④BC=BD。能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为E,F。
(1)如图1,过点A的直线与斜边BC不相交时,求证:EF=BE+CF;
(1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BEA=∠CFE=∠BAC=90°,
∴∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°,
∴∠FAC=∠EBA。
又∵AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴EA=FC,BE=AF,∴EF=AF+EA=BE+CF。
(2)如图2,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求EF的长。
(2)解:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BEA=∠CFE=∠BAC=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠ABE。
又∵AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴EA=FC=3,BE=AF=10,
∴EF=AF-AE=10-3=7。
[方法总结] 一线三垂直模型是三角形全等中的重要模型,广泛运用在几何的计算与证明中,当模型不完整时构造完整的一线三垂直模型是添辅助线的方向。
1.在课堂上,李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图)的卡片,然后要求同学们画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC。小宏同学先画出了∠MB'N=90°之后,后续画图的主要过程如图所示。这种画图方法的依据是(　　)
A.SAS B.AAS C.ASA D.HL
D
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F。若BF=AC,则∠ABC=　 　度。
45
已知:如图,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AD=CB,DE=BF。求证:AB∥DC。
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEA=∠BFC=∠DEC=∠BFA=90°。
在Rt△ADE和Rt△CBF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),
∴AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE。
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC。
[方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时,可考虑证两次全等或三次全等,证第一次全等是为证第二次全等准备边或角相等的条件。在分析问题时,可“执因索果”,也可“执果索因”,这样可使问题简化。
3.如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,BE⊥EF于点E,DF⊥EF于点F,BE=DF。求证:Rt△BCE≌Rt△DCF。
证明:如图,连接AC。
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴BC=DC。
∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠BEC=∠DFC=90°。
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)。(共20张PPT)
1.4　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线(一)
1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　。
符号语言:
如图,∵PO垂直平分AB,
∴PA=PB。
2.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　 　上。
符号语言:
如图,∵PA=PB,
∴点P在AB垂直平分线上。
注:线段的垂直平分线可以看成是与A,B两点的距离相等的点的集合。
相等
垂直平分线
如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为M,N。
(1)若△ADE的周长为16,求BC的长;
解:(1)∵DM和EN分别为AB,AC的垂直平分线,
∴AD=BD,EA=EC。
∵△ADE的周长为16,∴AD+DE+EA=16,
∴BD+DE+EC=16,即BC=16。
(2)若∠BAC=108°,求∠DAE的度数。
(2)∵AD=BD,EA=EC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠EAC。
∵∠BAC=108°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=72°,
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=72°,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=36°。
1.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,如果MP和NO分别垂直平分AB和AC,那么∠PAO的度数为　 　。
20°
2.(2025·成都七中)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E。
(1)如图1,若E为AB中点时,求证:AD=2CD;
(1)证明:如图1,连接BD,
∵DE⊥AB,E为AB中点,
∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°。
∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,∴BD=2CD,∴AD=2CD。
(2)如图2,若CD=2,DE=1,求△ABC的面积。
(2)解:∵∠C=90°,∠A=30°,DE⊥AB,
∴AD=2DE=2,AB=2BC,∴AC=AD+CD=4。
∵AB2=BC2+AC2,∴(2BC)2=BC2+42,
∴BC=(负值舍去),
∴S△ABC=AC·BC=×4×=。
“风筝飞满天,笑语乐无边”,由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形——筝形。如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形。初步认识筝形后,数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质,小明观察后认为AC垂直平分BD,请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质。
已知:在四边形(筝形)ABCD中,　 ,　 。
求证:　 。
(请把横线上的“已知”“求证”内容补充
完成,并完成后续相应证明过程)
证明:∵AB=AD,CB=CD,
∴点A,C均在线段BD的垂直平分线上,
∴AC垂直平分BD。
AB=AD　
CB=CD　
AC垂直平分BD　
3.如图,AB=AC,PB=PC,有下列结论:①EB=EC;②AD⊥BC;③AE平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB。其中正确结论的个数为(　　)
A.1个　　　　　 B.2个
C.3个 D.4个
D
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,E为AD上一点,求证:∠ABE=∠ACE。
证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,即BD=CD,
∴∠ABC=∠ACB,AD⊥BC,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴BE=CE。
∴∠EBC=∠ECB。
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,
即∠ABE=∠ACE。
第2课时　线段的垂直平分线(二)
1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离　 　。
注:锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形内部;直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边中点;钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形外部。
2.尺规作图
(1)作已知线段的垂直平分线:
相等
(2)过一点作已知直线的垂线:
已知点P在直线上时,如图1所示;
已知点P在直线外时,如图2所示。
(1)如图1,点P为△ABC三边垂直平分线的交点。若∠PAC=20°,∠PCB=30°,则∠PAB=　 　;
(2)如图2,在△ABC中,点O是边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点。若∠BOC=100°,则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为　 　。
40°
50°
1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,凉亭应选的位置是(　　)
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三边的垂直平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
C
2.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP。若∠A=48°,则∠BPC= (　　)
A.100° B.96° C.90° D.50°
B
已知三个汽车修理厂A,B,C的位置如图,现要建一个加油站,使加油站到三个汽车修理厂的距离相等,该加油站应建在何处 (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
解:分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点P,则点P即为加油站的位置,如答案图。
3.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E,连接AD,DE。若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为　 　。
16
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D。
(1)尺规作图:作AD的垂直平分线,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,连接DE,DF;(不写作法,保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示。
(2)在(1)中所作的图形中,求证:AF=DE。补全下列证明过程。
证明:∵EF垂直平分AD,
∴∠AGE=∠AGF=90°,AE=①　 　。
∵AD平分∠BAC,∴②　 。
在△AEG和△AFG中,
∴△AGE≌△AGF(ASA),
∴④　 ,∴AF=DE。
DE
∠EAG=∠FAG　
AE=AF　

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