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(共21张PPT)
4　一元一次不等式组
1.定义:一般地,关于同一个未知数的几个 合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程,叫作解不等式组。如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解。
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的。
3.解一元一次不等式组的步骤
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
一元一次不等式
一元一次不等式组的解集的四种情况如下:(a,b为实数,且a一元一次 不等式组 解集 图示 叙述语言
表达
x>b 两大取
较大
x较小
a中间找
无解 大小分离
没有解
4.能利用一元一次不等式组解决实际问题
　利用不等式组解决实际问题的基本过程:
(1)审题,设未知数;
(2)找不等关系;
(3)列不等式组;
(4)解不等式组;
(5)根据实际情况,写出答案。
下列选项中是一元一次不等式组的是(　　)
A. B.
C. D.
[分析]根据一元一次不等式组的概念判断,先看是否只含有一个未知数,再看每个不等式是不是一元一次不等式。
D
将不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是(　　)
B
1.下列不等式组:①②③④⑤其中是一元一次不等式组的有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
2.下列不等式组求解的结果,正确的是(　　)
A.不等式组的解集是x≤-3
B.不等式组的解集是x≥-4
C.不等式组无解
D.不等式组的解集是-3B
(1)
解下列不等式组:
解:解不等式①,得x<3。解不等式②,得x≥-4。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
因此,原不等式组的解集为-4≤x<3。
(2)
因此,原不等式组无解。
解:解不等式①,得x≥8。
解不等式②,得x<2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(3)2≤-3x-7<8;
因此,原不等式组的解集为-5解:原不等式化为
解不等式①,得x≤-3。
解不等式②,得x>-5。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(4)求不等式组的正整数解。
因此,不等式组的解集是-2所以不等式组的正整数解是1,2,3,4。
解:解不等式①,得x>-2。
解不等式②,得x≤。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(1)
∴原不等式组的解集为-1解:解不等式①,得x≤3。
解不等式②,得x>-1。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(2)
∴原不等式组的解集为x≥4。
解:解不等式①,得x≥4。
解不等式②,得x>-7。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(3)
∴原不等式组的解集是x<2。
解:解不等式①,得x≤4。
解不等式②,得x<2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(4)
∴原不等式组无解。
解:解不等式①,得y>3。
解不等式②,得y≤-1。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如答案图。
(1)若关于x的不等式组的解集为x>a,则a的取值范围是(　　)
A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2
(2)若关于x的不等式组无解,且关于x的不等式组的所有整数解之和为12,那么m-n的最大值是　　。
[思维点拨] 根据解的情况确定字母系数的取值时,也可以利用画数轴的方法直观分析,在确定值时注意考虑边界点的取舍。
D
7
4.(1)若关于x的一元一次不等式组的解集为x<2,则a的取值范围是　 ;
(2)关于x的不等式组有解且至多有4个整数解,则a的取值范围是　 　。
a≥2　
-3(2025·成都七中)某学校科技活动小组制作了部分科技产品后,把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A,B两种型号的工艺品,已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表:
A型 B型
原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个
原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个
已知剩下甲种原料29千克,乙种原料37.2千克,假设制作x个A型工艺品,根据题意,列出相应的不等式组正确的是(　　)
A. B.
C. D.
B
5.学校安排七、八年级师生进行研学活动。某班两位同学关于租车方案讨论如下:
根据他们的对话得到以下四个结论:
①每辆甲车的载客量要比乙车多15人;②共有两种租车方案;
③租车最低费用是2 160元;④两种方案的租车费用一样多。
其中正确的结论是(　　)
A.①② B.①②③ C.②③ D.①②④
B(共37张PPT)
1　不等式及其性质
第1课时　认识不等式
1.不等式:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫作不等式。
要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系。
2.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”“不小于”等数学术语
非负数 大于等于0(≥0) 0和正数 不小于0
非正数 小于等于0(≤0) 0和负数 不大于0
例:(1)《四川省全民健身条例》中明确规定,学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼。设学生在校期间每天的锻炼时间为t(小时),则t应满足的关系式为　 　;
(2)小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次,但不少于50次,设小红每分钟踢毽子的次数为x次,则用不等式可表示为　
;
(3)一袋牛奶的包装盒上标重(200±2) g,设这袋牛奶的实际重量为x g,则x应满足的关系式为　 。
t≥1
50≤x<80　
198≤x≤202　
在数学表达式:①-3<0;② 4x+5>0;③ x=3;④ x2+x;⑤ x≠-4;⑥ x+2>x+1;⑦ 52≠24中,是不等式的有(　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
[分析]直接用定义判断即可,注意用“≠”连接的式子也是不等式,表示左边和右边不相等。
[方法归纳] 判断一个式子是不是不等式,关键是看所给的式子是否含有不等号,常见的不等号有“≠,>,<,≥,≤”。
C
1.下列表达式中是不等式的是(　　)
A.2x-3>0 B.6m-5n C.5x=4 D.0
2.下列式子:①-3<0;②2x+3y≥0;③x=1;④x2-2xy+y2;⑤x+1>3。其中不等式有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
B
用适当的符号表示下列关系:
(1)a是正数;
(2)2x与2的差大于-1;
(3)x的4倍不大于7;
(4)2y的不等于3;
(5)a与b的平方差不小于4;
(6)a与b的差的平方至多为4;
(7)a的绝对值的相反数小于-3。
[分析]要注意正确书写不等号的方向,并正确理解正数、负数、不大于的意义。
(7)-<-3。
解:(1)a>0。　
(2)2x-2>-1。　
(3)4x≤7。
(4)≠3。　
(5)a2-b2≥4。　
(6)(a-b)2≤4。
3.下列不等关系表示错误的是(　　)
A.若a是非负数,则a≥0
B.若x的值不小于1,则x≥1
C.若m与-1的和小于或等于0,则m-1≤0
D.若x的值不大于3,则x<3
4.(1)x与y之和的平方不大于5,用不等式表示为 　;
(2)用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为 　。
D
≤5
≥0
5.用适当的符号表示下列关系:
(1)x的与5的差小于1;
(2)8与y的2倍的和是正数;
(3)x与8的差的不大于0。
解:(1)x-5<1。　
(2)8+2y>0。
(3)(x-8)≤0。
(1)某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元,则购买轿车x(辆)满足的关系式是　 ;
(2)某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过10立方米,则每立方米收费1.5元,若每户每月用水超过10立方米,则超过的部分每立方米收费2元。小亮家某月的水费不少于25元,那么他家这个月的用水量至少是多少立方米 设小亮家这个月的用水量是x立方米,请列出关于x的不等式。
[方法归纳] 解答这类题目一般先用含有x的代数式表示出相关的量,然后再用适当的不等号将需要比较的数量连接起来。
7x+4(10-x)≤55　
解:(2)1.5×10+2(x-10)≥25。
6.下列各选项中,蕴含不等关系的是(　　)
A.哥哥比我高
B.小刚和小丽在同一个班
C.老师的年龄是我年龄的2倍
D.小燕是三好学生
7.在a克糖水中含有b克糖(a>b>0),现再加入m克糖,则糖水变得更甜了。这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式为 。
A
<(a>b>0,m>0)　
第2课时　不等式的解集
1.不等式的解集
(1)能使不等式成立的未知数的值,叫作　 　;
(2)一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集;
(3)求不等式解集的过程,叫作　 。
注:不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同。
2.不等式的解集在数轴上的表示
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左。
不等式的解
解不等式　
下列说法中,错误的是(　　)
A.不等式x<2的正整数解只有一个
B.-2是不等式x-1<0的一个解
C.不等式x>-10的负整数解有无数个
D.不等式x-3>-6的解集是x>-3
C
1.下面说法中,正确的个数有(　　)
①x=是不等式4x-5>0的一个解;
②x=不是不等式4x-5>0的一个解;
③x>是不等式4x-5>0的解集;
④x>2中的任何一个数都能使不等式4x-5>0成立,所以x>2是它的解集。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
2.(1)不等式2x<6的解有　 　个,非负整数解有　　个;
(2)x≥-2的非正整数解有:　 ;
(3)下列各数中,是不等式5x>0的解的是　 　(填序号)。
①-3;②-1;③0;④;⑤4。
无数
3
-2,-1,0　
④⑤
在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x<0; (2)x≥-; (3)-12或x<-4。
解:如答案图所示:
3.不等式x<2的解集在数轴上可表示为(　　)
B
4.下图所表示的各不等式的解集分别是什么 (填在横线上)
x>2或x≤-1
-2≤x<3
第3课时　不等式的基本性质
1.不等式的基本事实
(1)基本事实1:如果a>b,那么b　 　a。
(2)基本事实2:如果a2.不等式的基本性质
(1)不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个代数式,不等号的方向　 　,即:如果a>b,那么a±c　 　b±c。
(2)不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向　 　,即:如果a>b,并且c>0,那么ac　 　bc,　 。
(3)不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向　 　,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac　 　bc,　 。
<
<
不变
>
不变
>
>
改变
<
<
3.利用不等式的基本性质解不等式
根据不等式的基本性质,我们可以把不等式逐步化成x>a或x4.作差法比较大小
(a,b分别表示两个实数或整式)
一般地,如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b。
如果a=b,那么a-b=0;反过来,如果a-b=0,那么a=b。
如果a即a>b a-b>0;a=b a-b=0;a由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差与零的大小就可以了。
(1)已知a”或“<”填空:
①a-3　 　b-3;
②-a　 　-b;
③　 (x≠0);
<
>
<
(2)下列说法不一定成立的有　 　。(填序号)
①若a>b,则a+c>b+c;
②若a+c>b+c,则a>b;
③若a>b,则ac2>bc2;
④若ac2>bc2,则a>b;
⑤若a(c2+1)>b(c2+1),则a>b;
⑥若a>b,则a(c2+1)>b(c2+1);
⑦若a>b,则a2>b2。
[易错提示] 应用不等式的基本性质时,要特别注意细节的分析,如:同时乘负数及0和除以负数的情形。
③⑦
1.若a,b都是实数且a>b,则下列不等式正确的是(　　)
A.ax>bx B.1-a>1-b
C.2a>2b D.<
2.对于实数a,b,c,有下列4个说法:①若a>b,则acbc2,则a>b;③若aab>b2;④若a>b,>,则a>0,b<0。其中说法一定正确的序号是　 　。
C
②④
3.用适当的不等号填空。
(1)若a(2)若x-1>y,y>2x+3,则x-1　 　2x+3;
(3)若x>-3,则x+3　 　0;
(4)若x>y,则m2x　 　m2y;
(5)若a>0,且a<0,则b　 　1。
>
>
>
≥
<
根据不等式的基本性质解下列不等式,并将解集表示在数轴上。
(1)x+1>3;
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都减1,得x>3-1,即x>2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(2)3x<-1;
解:根据不等式的基本性质2,
两边都除以3,得x<-。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(3)-x≤2;
解:根据不等式的基本性质3,
两边都乘-3,得x≥2×(-3),即x≥-6。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(4)-3x-1≥-3;
解:根据不等式的基本性质1,
两边都加1,得-3x≥-3+1,即-3x≥-2。
根据不等式的基本性质3,
两边都除以-3,得x≤。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(5)3x+1>2x+3;
解:根据不等式的基本性质1,
两边都减(2x+1),得x>2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(6)2x+3>3.5x+1。
解:根据不等式的基本性质1,
两边都减(3.5x+3),得-1.5x>-2。
根据不等式的基本性质3,
两边都除以-1.5,得x<。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
4.填空:
(1)若2-x<0,则x>　　; (2)若2m>3,则m> ;
(3)若-2a≥-8,则a　 　4。
5.根据不等式的基本性质解下列不等式,并将解集表示在数轴上。
(1)x-3<-2;
2
　
≤
解:根据不等式的基本性质1,
两边都加3,得x<1。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(2)-4x≤8;
解:根据不等式的基本性质3,
两边都除以-4,得x≥-2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(3)3-3x<2-5x;
解:根据不等式的基本性质1,
两边都加(5x-3),得2x<-1。
根据不等式的基本性质2,
两边都除以2,得x<-。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(4)x≤x-1。
解:根据不等式的基本性质1,两边都减x,得-x≤-1。
根据不等式的基本性质3,
两边都乘-6,得x≥6。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(1)若(m-1)x>m-1的解集为x>1,则m　 　;
(2)若(m-1)x1,则m　 　;
(3)若>3-a,则a　 　。
6.(1)若mm-n的解集为　 　;
(2)当m　 　时,(2-m)x<8可化成x>。
>1
<1
>3
x<1
>2(共23张PPT)
3　一元一次不等式与一次函数
第1课时　一元一次不等式与一次函数
1.一次函数与一元一次方程(知识回顾)
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于求某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,自变量x的值。从图象上看,相当于求已知直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。
2.一元一次不等式与一次函数
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于求某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时,自变量x的取值范围。从图象上看,也可以把一次函数y=ax+b的图象在x轴上方或下方的点所对应的横坐标的取值范围看作不等式的解集。
3.一次函数与二元一次方程的关系(知识回顾)
任意一个二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)都可以转化为y=kx+b'(k≠0)的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解。
4.一次函数与二元一次方程组的关系(知识回顾)
每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标。
画出函数y=x+的图象,结合图象回答问题。
(1)在这个函数中,随着自变量x的增大,函数y的值是增大还是减小 它的图象从左到右怎样变化
解:如答案图所示。
(1)根据图象可得,随着自变量x的增大,函数值y增大,它的图象从左到右呈上升趋势。
(2)函数图象与x轴的交点坐标是什么
(2)当y=0时,x+=0,解得x=-3。
∴函数图象与x轴的交点坐标是(-3,0)。
(3)当x取何值时,y>0,y=0,y<0
(3)根据图象可得,当x>-3时,y>0;
当x=-3时,y=0;当x<-3时,y<0。
(4)当y≤时,求x的取值范围。
(4)根据图象可得,当y≤时,x≤0。
1.(2025·成都石室)一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A(2,0),B(0,2)两点,则不等式kx+b>2的解集是(　　)
A.x>0 B.x<0 C.x>2 D.x<2
2.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,点P,Q在直线l上,根据图象解决下列问题:
(1)方程kx+b=0的解为　 ,不等式kx+b<2的解集为　 　;
(2)若直线l上的点A在线段PQ上移动,则m,n的取值范围分别是什么
解:(2)m,n的取值范围分别为-2≤m≤2,0≤n≤2。
B
x=-2　
x<2
如图,已知函数y1=2x+b和y2=ax-3的图象交于点P(-2,-5),这两个函数的图象与x轴分别交于点A,B。
(1)分别求出这两个函数的解析式;
解:(1)将点P(-2,-5)代入y1=2x+b,
得-5=2×(-2)+b,
解得b=-1。
将点P(-2,-5)代入y2=ax-3,
得-5=a×(-2)-3,
解得a=1。
∴这两个函数的解析式分别为y1=2x-1和y2=x-3。
(2)求△ABP的面积;
(2)在y1=2x-1中,
令y1=0,得x=,∴A。
在y2=x-3中,
令y2=0,得x=3,∴B(3,0),
∴AB=3-=,
∴S△ABP=AB×5=××5=。
(3)请根据图象直接写出不等式ax-3<2x+b<0的解集。
(3)当-23.(2025·重庆育才)已知在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示,若kx+b≤mx+n,则x的取值范围为(　　)
A.x≥2 B.x≤-3 C.x≤2 D.x≥-3
B
4.(2025·重庆一中)如图,一次函数y1=k1x+b1(k1≠0)与y2=k2x+b2(k2≠0)相交于点(2,3),则关于x的不等式k1x-k2x≥b2-b1的解集是　 　。
5.如图,直线y1=kx+b过点A(0,2),且与直线y2=mx交于点P(1,m),则不等式mx>kx+b>mx-2的解集是　 　。
x≥2
1第2课时　综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题
通过具体问题体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
进一步学习把实际问题转化为不等式模型。
某公园计划在健身区铺设广场砖。现有甲、乙两个工程队参加竞标,甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示;乙工程队铺设广场砖的造价y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式y乙=kx。
(1)根据图象写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系式;
解:(1)当0≤x<500时,设y甲=k1x,
把(500,28 000)代入,并解得k1=56,
∴y甲=56x。
当x≥500时,设y甲=k2x+b,
把(500,28 000),(1 000,48 000)代入,
得解得
∴y甲=40x+8 000。
∴y甲=
(2)如果此公园铺设广场砖的面积为1 600 m2,那么该公园应选择哪个工程队施工更合算
(2)当x=1 600时,y甲=72 000,y乙=1 600k。
当y甲>y乙时,即72 000>1 600k>0,解得0当y甲45;
当y甲=y乙时,即72 000=1 600k,解得k=45。
∴当045时,选甲工程队更合算;当k=45时,选择两个工程队的花费一样。
[方法归纳] 解答函数与不等式的应用题,必须读懂题意,注意题干条件与各个问题的条件之间的关系:题干中的条件适用于每一个小题,但是,各个小题的条件并不互相影响;要针对各个小题的条件,结合所问问题做不同的分类讨论。
俗话说“冬腊风腌,蓄以御冬”,随着大雪节气的到来,愈加寒冷的天气更适合腊肉、腊肠的保存,成品腊味深受人们的喜爱。某超市计划购进大量腊肉和腊肠,已知购进2斤腊肉、3斤腊肠需要235元;购进3斤腊肉、5斤腊肠需要375元。
(1)求每斤腊肉和腊肠的进价各为多少元;
解:(1)设每斤腊肉的进价为x元,每斤腊肠的进价为y元。
根据题意,得
解得
答:每斤腊肉的进价为50元,每斤腊肠的进价为45元。
(2)该超市计划购进腊肉和腊肠共240斤,且腊肉斤数不低于腊肠斤数的,已知该超市腊肉售价为每斤58元,腊肠利润率为20%,则该超市如何进货才能使利润W最大,最大利润为多少元
(2)设该超市购进腊肉m斤,则购进腊肠(240-m)斤。
根据题意,得m≥(240-m),解得m≥96。
根据题意,得W=(58-50)m+20%×45(240-m)=-m+2 160。
∵-1<0,∴W随m的增大而减小。
∵m≥96,
∴当m=96时,W的值最大,W最大为-96+2 160=2 064,此时240-m=144。
答:该超市购进96斤腊肉、144斤腊肠才能使利润W最大,最大利润为2 064元。
1.如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象。下列说法:
①售2件时,甲、乙两家售价一样;
②买1件时,买乙家的合算;
③买3件时,买甲家的合算;
④1件乙家的产品售价约为3元。(　　)
A.①② B.②③④
C.②③ D.①②③
D
2.某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖。
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为　
　元;乙超市的购物金额为　 　元;
300
240
(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少
解:设该单位购买x件这种文化用品,所花费用为y元。
当10x=400时,可得x=40。
当0显然此时选择乙超市更优惠。
当x>40时,
y甲=400+0.6×10(x-40)=6x+160,
y乙=10x×0.8=8x,
当y甲=y乙时,则6x+160=8x,解得x=80,
∴当x=80时,两家超市的优惠一样,
当y甲>y乙时,则6x+160>8x,解得x<80,
∴当40当y甲80,
∴当x>80时,选择甲超市更优惠。
综上,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,两家超市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少。
3.习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气。”光明中学为提升学生的阅读品味,决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本。已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元;购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同。
(1)《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元
解:(1)设《北上》每本的价格为x元,《牵风记》每本的价格为y元。
根据题意,得解得
答:《北上》和《牵风记》每本的价格分别为35元和30元。
(2)若学校购买《北上》的数量多于17本,且购买两种书的总价不超过1 600元,请问有几种购买方案 最低费用为多少元
(2)设购买《北上》的数量为n本,则购买《牵风记》的数量为(50-n)本,
根据题意,得35n+30(50-n)≤1 600,解得n≤20。
∵学校购买《北上》的数量多于17本,∴17∵n为整数,∴n可以取18,19,20,∴有3种购买方案。
设购买费用为w元。
则w=35n+30(50-n)=5n+1 500。
∵5>0,∴w随n的增大而增大,∴当n=18时,最低费用为w=5×18+1 500=1 590。
答:共有3种购买方案,最低费用为1 590元。(共33张PPT)
2　一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式
1.不等式的左右两边都是　 　,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是　　,像这样的不等式,叫作一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘(或除以)一个负数时,不等号要改变方向。
3.解一元一次不等式的步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)。
整式
1
4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax以ax>b为例:
①当a>0时,解集为x>;
②当a=0,且b<0时,则x取一切实数;
当a=0,且b≥0时,则无解;
③当a<0时,解集为x<。
下列各式中,是一元一次不等式的有 。(填序号)
①2<5;②x(x-2)>1;③>1;④3x+y>y+1;⑤y-2<0;⑥x≤。
[分析]判断一个式子是否是一元一次不等式,关键是看所给式子化简后是否只含有一个未知数,且未知数的最高次数为1。注意原式分母中不能含有字母。
④⑤
1.下列为一元一次不等式的是(　　)
A.x+y>-2 B.+3<2
C.-2x=7 D.+>1
2.已知+5A.3 B.-3 C.±3 D.无法确定
D
A
解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来:
(1)2(x-1)+5<3x;
解:去括号,得2x-2+5<3x。
移项,得2x-3x<2-5。
合并同类项,得-x<-3。
系数化为1,得x>3。
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示:
(2)-≤1;
解:去分母,得2(2x-1)-(9x+2)≤6。
去括号,得4x-2-9x-2≤6。
移项,得4x-9x≤6+2+2。
合并同类项,得-5x≤10。
系数化为1,得x≥-2。
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示:
(3)≥-1。
解:原不等式变形,得≥-1。
去分母,得2(2x-1)≥3x+2-4。
去括号,得4x-2≥3x+2-4。
移项、合并同类项,得x≥0。
在数轴上表示这个不等式的解集如图所示:
若关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y>-2,则a的取值范围是(　　)
A.a<4 B.0C.0D
3.不等式x-1≤2的非负整数解有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.不等式5x>4x+2的解集在数轴上表示正确的是(　　)
D
A
5.解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来:
(1)-x>1;
解:去分母,得4x-1-3x>3。
移项、合并同类项,得x>4。
将不等式的解集表示在数轴上如下图所示:
(2)>;
解:去分母、去括号,得6-3x>4-4x。
移项、合并同类项,得x>-2。
将不等式的解集表示在数轴上如下图所示:
(3)+≥。
解:去分母、去括号,得4x-2+15≥9x+3。
移项、合并同类项,得-5x≥-10。
系数化为1,得x≤2。
将不等式的解集表示在数轴上如下图所示:
已知关于x的两个不等式:①<1;②1-3x>0。
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
解:(1)解不等式①,得x<。
解不等式②,得x<。
由两个不等式的解集相同,得=,
解得a=1。
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,求a的取值范围。
(2)由不等式①的解都是不等式②的解,得
≤,解得a≥1。
[方法归纳] 不等式①的解都是不等式②的解,若两个不等式的解集同时都是小于某个数,则在数轴上表现为不等式①的解集在不等式②的解集的左侧或重合;若两个不等式的解集都是大于某个数,则在数轴上表现为不等式①的解集在不等式②的解集的右侧或重合。
6.已知关于x的不等式-1>的解集为x<,求a的值。
解:去分母,得x+5-2>ax+2。
移项、合并同类项,得(1-a)x>-1。
∵不等式的解集为x<,
∴1-a<0,且-=,
解得a=3。
第2课时　一元一次不等式的简单应用
1.解一元一次不等式应用题的步骤
(1)审:仔细审题,分清已知量和未知量,找出题目中的不等关系;
(2)设:设未知数;
(3)列:根据不等关系,列出不等式;
(4)解:解不等式,得出不等式的解集;
(5)验:检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况;
(6)答:写出答语。
注:列不等式解决实际问题时,设元不能含有不等关系的关键词,但答语中必须有不等关系的关键词。
方法技巧:
常用不 等号 读作 常见的表示不等关系的
数学术语或词语
“>” 大于 正数、超出、超过、多余
“<” 小于 负数、不足、少于、低于
“≥” 大于等于(不小于) 非负数、至少、不少于、最低
“≤” 小于等于(不大于) 非正数、至多、不超过、限速、最高
“≠” 不等于
2.利润率问题:利润=成本×利润率
例:某电器商场促销,海尔某型号冰箱的售价是2 500元,进价是1 800元,设降价x元,则冰箱的售价为 元,利润为 元,
利润率为 。若商场为保证冰箱的利润率不
低于5%,根据题意可列出的不等式为 。
(2 500-x)
(2 500-x-1 800)
×100%　
×100%≥5%　
3.得分问题:总得分=加分-扣分
例:在一次知识抢答赛中,共有20道题,对于每一题,答对得10分,答错或不答扣5分,设答对了x道题,则加　 　分,答错或不答　 道题,扣　 　分。若最后得分不低于95分,根据题意可列出的不等式为　 。
10x
(20-x)　
5(20-x)
10x-5(20-x)≥95　
(1)第十四届冬运会期间,某商店购进了一批服装,每件进价为200元,并以每件300元的价格出售,冬运会结束后,商店准备将这批服装降价处理,打x折出售,使得每件衣服的利润率不低于5%,根据题意可列出来的不等式为(　　)
A.300x-200≥200×5%
B.300×-200≥200×5%
C.300×-200≥300×5%
D.300x-200≥300×5%
B
(2)某学校九年级同学劳动实践的任务是平整500 m2土地。由于操作不熟练,开始的半小时只平整完40 m2,学校要求完成全部任务的时间不超过3小时。若他们在剩余时间内每小时平整土地x m2,则x满足的不等关系为(　　)
A.40+x≤500
B.40+x≥500
C.40+x<500
D.40+x>500
B
(2025·重庆巴蜀)为积极响应国家“碳达峰、碳中和”目标,某工业园推出碳交易奖惩试点项目,以促进企业节能减排,最终实现绿色发展。该工业园A,B两家企业2023年碳排放量及2024年碳排放配额如下表:
企业 2023年碳排 放量(吨) 2024年碳排
放配额(吨)
A 8 000 7 200
B 2 500 3 000
碳交易 规则 ①碳排放超过配额,超过部分需按80元/吨购买碳排放权; ②碳排放未超过或刚好达到碳排放配额,园区管委会奖励企业5 000元,且结余部分可以按30元/吨出售碳排放权。 已知,两家企业2024年1~4月碳排放总量为3 400吨,且企业A月均碳排放量比企业B的2倍少50吨。
(1)求1~4月期间,A,B两家企业月均碳排放量各多少吨
解:(1)设1~4月期间,企业A的月均碳排放量为x吨,企业B的月均碳排放量为y吨。
根据题意,得
解得
答:1~4月期间,A,B两家企业月均碳排放量分别为550吨和300吨。
(2)企业A从2024年5月开始,加大对企业B的帮扶力度,并承诺5~12月期间月平均碳排放量不超过企业B的1.8倍,结果2024年A,B两企业全年碳排放总量为9 000吨。企业B在2024年的碳交易中是需要购买还是出售碳排放权 若需购买,最少支出多少元 若能出售,最多获利多少元
(2)设5~12月期间,企业A,B的月均碳排放量分别为m吨和n吨。
由题意,得3 400+8(m+n)=9 000。
整理,得m=700-n。
又∵企业A5~12月期间月平均碳排放量不超过企业B的1.8倍,
∴700-n≤1.8n,解得n≥250。
当n=250时,企业B全年碳排放量最少,其总量为300×4+250×8=3 200(吨)。
∵3 200>3 000,∴企业B需要购买碳排放权。
企业B购买碳排放权的金额最少为:
(3 200-3 000)×80=16 000(元)。
答:企业B在2024年的碳交易中需要购买碳排放权,购买碳排放权的金额最少为16 000元。
(3)企业B从2025年起,年碳排放总量比前一年多20%,直至碳达峰,其峰值为7 500吨。按(2)中2024年最低排放量计算,企业B在2030年能否实现碳达峰 (参考数据:1.23≈1.73,1.24≈2.07,1.25≈2.49,1.26≈2.99)
(3)∵3 200×1.24<7 500<3 200×1.25,
∴企业B在2030年能实现碳达峰。
答:企业B在2030年能实现碳达峰。
1.某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,他至少要答对的题的个数为(　　)
A.13 B.14 C.15 D.16
C
2.太原地铁“一号线”在2024年年底通车试运营,标志色为梦想蓝,通车前有大量的残土需要运输,某车队有载重量为8吨的卡车5辆,载重量为10吨的卡车7辆,该车队需要一次运输残土不低于166吨,为了完成任务,该车队准备新购进这两种卡车共6辆。若购进载重量为8吨的卡车a辆,则a需要满足的不等式为(　　)
A.8+10≥166
B.8+10≤166
C.8a+10≥166
D.8a+10≤166
A
3.随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射,中国空间站建设取得重大成就,我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段。某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛,一共有25道题,满分100分,每一题答对得4分,答错扣1分,不答得0分。
(1)小明同学有两道题没有作答,总分为77分,则小明同学一共答对了多少道题
解:(1)设小明同学一共答对了x道题,则答错了(25-2-x)道题。
根据题意,得4x-1×(25-2-x)=77,
解得x=20。
答:小明同学一共答对了20道题。
(2)若规定每道题都必须作答,总分不低于90分者将被评为“航天小达人”,则至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”
(2)设需答对y道题才能被评为“航天小达人”,则答错了(25-y)道题。
根据题意,得4y-1×(25-y)≥90,
解得y≥23,∴y的最小值为23。
答:至少答对23道题才能被评为“航天小达人”。

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