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(共15张PPT)
2　提公因式法
第1课时　提公因式法(一)
1.公因式的概念:多项式各项都含有的　 ,叫作这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式,也可以是多项式。
2.提公因式法:如果一个多项式的各项含有　 　,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式　 　的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。
注:(1)确定公因式要从系数、字母以及次数三方面入手,公因式的系数取各项系数的最大公因数,字母取各项都含有的相同字母,指数取相同字母的最低次幂。公因式可以是一个数字(或一个字母),也可以是单项式或多项式;
相同因式　
公因式
乘积
(2)多项式的首项前有负号,一般应先提取负号,使括号内的第一项系数为正数,同时注意括号内其他各项都要变号;
(3)提公因式时,应先确定公因式,再确定剩余的因式;当某项恰好是公因式时,提取后该项为1,注意不要漏项。
指出下列各组式子中的公因式:
(1)ax,ay;
(2)15p2,-10p;
(3)12xyz,-9x2y2z,6x2z2;
(4)12a(a+b)2,10ab(a+b),15a2(a+b)。
解:(1)a。
(2)5p。
(3)3xz。
(4)a(a+b)。
1.下列各式中,公因式是a的是(　　)
A.ax+ay-2 B.2ma-4ma2
C.4a2+6ab D.a2-2a+ma
2.把多项式12ab+3ab3分解因式,应提的公因式是(　　)
A.12ab B.4ab C.3ab D.3ab3
3.(1)多项式3a2y-3ay+6y的公因式是　 　;
(2)多项式-27a2mbn+1+36am+1b2n+9ambn的公因式是　 。
D
C
3y
-9ambn　
把下列各式因式分解:
(1)2ab2-a2b;
解:原式=ab(2b-a)。
(2)6y2+18y+6;
解:原式=6(y2+3y+1)。
(3)-9m2n+27mn2-18mn。
解:原式=-9mn(m-3n+2)。
[方法归纳] 提公因式法的一般步骤:(1)确定应提取的公因式;(2)多项式除以公因式,所得的商作为另一个因式;(3)把多项式写成这两个因式乘积的形式。
4.因式分解:
(1)x2+4x=　 　;
(2)2a2b+3ab2=　 ;
(3)24m2n-18n=　 ;
(4)-x3-xy+xz=　 ;
(5)-6ab+18abx+24aby=　 。
x(x+4)
ab(2a+3b)　
6n(4m2-3)　
-x　
-6ab(1-3x-4y)　
5.(1)若ab=3,b-a=2,则ab2-a2b=　　;
(2)若ab2=3,2a-b=5,则代数式2a2b2-ab3的值是　 　。
6.利用提公因式法说明:对于任意正整数n,多项式-2n必有一个因数30。
解:∵2n+4-2n=2n×(24-1)=30×2n-1,
∴对于任意正整数n,多项式2n+4-2n必有一个因数30。
6
15
第2课时　提公因式法(二)
1.提取公因式后,要注意结果的检查:
(1)结果中单项式应放在多项式因式的前面;
(2)要“提净”“分完”,提公因式后还能再提取公因式的要继续分解,相同因式需要写成幂的形式。
2.掌握符号变化规律:
(x-y)2n =(y-x)2n,(x-y)2n+1 =-(y-x)2n+1。
把下列各式因式分解:
(1)xy(x-y)-x(x-y)2;
解:原式=x(x-y)(y-x+y)
=x(x-y)(2y-x)。
(2)(2a+b)(2a-3b)+4a(2a+b)。
解:原式=(2a+b)(2a-3b+4a)
=(2a+b)(6a-3b)
=3(2a+b)(2a-b)。
[易错提示] (1)公因式也可以是相同的多项式;(2)提公因式后,如果多项式中有同类项,要注意合并同类项,合并同类项后如有公因式要继续提取公因式。
把下列各式因式分解:
(1)x(x-y)+2y(y-x);
解:原式=x(x-y)-2y(x-y)
=(x-y)(x-2y)。
(2)10a(x-y)2+5a(y-x)3;
解:原式=10a(y-x)2+5a(y-x)3
=5a(y-x)2(2+y-x)。
(3)(m-n)4+m(m-n)3+n(n-m)3;
解:原式=(m-n)3·[(m-n)+m-n]
=(m-n)3·(2m-2n)
=2(m-n)3·(m-n)
=2(m-n)4。
[方法归纳] 当多项式中有互为相反数的因式时,经常通过改变符号变成公因式,改变的原则是:变后不变前,变偶不变奇。
1.分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是(　　)
A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)
C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1)
2.把下列各式因式分解:
(1)6p-4q;
解:原式=2。
(2)2(a-b)2-a+b;
解:原式=2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]=(a-b)(2a-2b-1)。
(3)5xy-20x。
解:原式=5xy+20x
=5x(x-2y)2[y+4(x-2y)]
=5x(x-2y)2(4x-7y)。
B
先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x),其中x=1。
解:原式=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]
=(x-2)(x-7)(3x+5)。
当x=1时,
原式=(1-2)×(1-7)×(3+5)
=(-1)×(-6)×8
=48。(共7张PPT)
1　因式分解
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式　 　的形式,这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式。
注:(1)因式分解是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式而不是单项式;(2)因式分解的结果是几个整式乘积的形式;(3)因式分解分解到每一个多项式都不能分解为止;(4)分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形,如ma+mb+mc=m(a+b+c),从左到右是　 ,从右到左是　 ;(5)并非所有的多项式都能因式分解。
乘积
分解因式　
整式乘法　
下列各式从左到右的变形如下:
①15x2y=3x·5xy;②ax+bx+c=x(a+b)+c;
③x2-6x+9=(x-3)2;④x2+4x+1=x;
⑤x2-16+3x=(x+4)(x-4);⑥8x2-2x=2x(4x-1);
⑦2m3-8m2+8m=2m(m2-4m+4)。
其中是因式分解的有(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
1.(2025·重庆南岸区)下列等式,由左到右的变形,是因式分解的是(　　)
A.a2-4a+4=(a-2)2
B.(x-4)(x+4)=x2-16
C.m2-n2-2=(m+n)(m-n)-2
D.x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x
2.下列各式中,是整式乘法的是　 　,是因式分解的是　 　。(填序号)
①(5a-1)2=25a2-10a+1;②m2-4=(m+2)(m-2);③(a-6)(a+6)=a2-36;④2xy-2xz=2x(y-z)。
A
①③
②④
阅读:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式及m的值。
解:设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n。
∴解得∴另一个因式为x-7,m的值为-21。
仿照上述方法解答下列问题:
(1)已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式及k的值;
解:(1)设另外一个因式为(x+n),
∴2x2+3x-k=(2x-5)(x+n)=2x2+(2n-5)x-5n。
∴解得∴另一个因式为(x+4),k的值为20。
(2)已知2x2-13x+p有一个因式是(x-3),求p的值。
(2)设另一个因式为(2x+n),
∴2x2-13x+p=(2x+n)(x-3)=2x2+(n-6)x-3n。
∴解得
∴p的值为21。
3.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x-1)(x-3),则k+b的值为　　。

4.多项式x2+mx+6因式分解得(x-2)(x+n),则m=　　。

5.(2025·成都七中)已知多项式3x2-mx+6的一个因式为(x-3),则m的值为　 。
-1
-5
11(共20张PPT)
3　公式法
第1课时　平方差公式
运用平方差公式分解因式:
a2-b2=　 。
注:掌握提公因式法、平方差公式分解因式。
(1)先观察各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)观察项数,若是两项,考虑用平方差公式分解;
(3)要将每个因式分解到不能分解为止。
(a+b)(a-b)　
运用平方差公式因式分解:
(1)36-25x2;
解:原式=(6+5x)(6-5x)。
(2)-9x2+(x-y)2;
解:原式=(x-y)2-9x2
=(x-y+3x)(x-y-3x)
=-(4x-y)(2x+y)。
(3)x4-1;
解:原式=(x2+1)(x2-1)
=(x2+1)(x+1)(x-1)。
(4)9(a+b)2-4(a-b)2。
解:原式=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)]
=(5a+b)(a+5b)。
1.因式分解:
(1)a2-16= 　;
(2)a4-b4=　 。
2.把下列各式因式分解:
(1)4x2-9y2;
解:原式=。
(2)-16x2+1;
解:原式=1-16x2=。
(a2+b2)　
(3)-25n2;
解:原式=
=。
(4)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2。
解:原式=[(a+b+c+d)+(a-b+c-d)][(a+b+c+d)-(a-b+c-d)]
=(2a+2c)(2b+2d)
=4(a+c)(b+d)。
把下列各式因式分解:
(1)m3-4m;
解:原式=m(m2-4)
=m(m+2)(m-2)。
(2)x2(a-b)+16(b-a);
解:原式=x2(a-b)-16(a-b)
=(a-b)(x2-16)
=(a-b)(x+4)(x-4)。
(3)x(x-y)(x2-xy-y2)-x2y(y-x);
解:原式=x(x-y)[(x2-xy-y2)+xy]
=x(x-y)(x2-y2)
=x(x+y)(x-y)2。
(4)(7a2+2b2)2-(2a2+7b2)2。
解:原式=[(7a2+2b2)+(2a2+7b2)][(7a2+2b2)-(2a2+7b2)]
=(9a2+9b2)(5a2-5b2)
=45(a2+b2)(a+b)(a-b)。
3.因式分解:
(1)3x2y-3y=　 ;
(2)2a4-18a2=　 ;
(3)a2-b2+ac+bc=　 ;
(4)-(a+1)2+9(a+2)2=　 ;
(5)a5-a=　 。
3y(x+1)(x-1)　
2a2(a+3)(a-3)　　
(a+b)(a-b+c)　
(4a+7)(2a+5)　
a(a2+1)(a+1)(a-1)　
4.已知a,b,c为△ABC的三边。若a4+b2c2-a2c2-b4=0,判断△ABC的形状。
解:∵a4+b2c2-a2c2-b4=(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=(a2+b2-c2)(a+b)(a-b),
∴(a2+b2-c2)(a+b)(a-b)=0,
∴a2+b2=c2或a=b或a+b=0。
∵a,b,c为△ABC的三边,
∴a2+b2=c2或a=b,
∴△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形。
第2课时　完全平方公式
1.用完全平方公式因式分解
把整式乘法的完全平方公式反过来,就得到因式分解的完全平方公式。
a2+2ab+b2=　 　;
a2-2ab+b2=　 。
(a+b)2
(a-b)2　
2.因式分解的步骤
(1)多项式为两项或三项时,步骤如下:
(2)多项式为四项及以上时,通常需先分组,分组后再利用提公因式法或公式法进行分解。
下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(　　)
①x2+4x+4;②4x2-4x-1;③x2+x+;④4m2+2mn+n2;⑤1+16a2;
⑥(x-2y)2-2x+4y+1。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
把下列各式因式分解:
(1)a2-6a+9;
解:原式=(a-3)2。
(2)-x2-4y2+4xy;
解:原式=-(x-2y)2。
(3)(x+y)2+8(x+y)+16。
解:原式=(x+y+4)2。
1.若x2-(m+2)x+16可以用完全平方式来分解因式,则m的值为(　　)
A.±2 B.2或-6
C.±6 D.6或-10
2.因式分解:
(1)m(m+4)+4=　 ;
(2)-a2-1+2a=　 ;
(3)(m+n)2-14(m+n)+49=　 。
D
(m+2)2　
-(a-1)2　
(m+n-7)2　
把下列各式因式分解:
(1)-2m3+4m2-2m;
解:原式=-2m(m2-2m+1)
=-2m(m-1)2。
(2)x4-8x2y2+16y4;
解:原式=(x2-4y2)2
=(x+2y)2(x-2y)2。
(3)(x-1)2-6(x-1)+9;
解:原式=(x-1-3)2
=(x-4)2。
(4)(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2)。
解:原式=(x+y)2-4(x+y)(x-y)+4(x-y)2
=(x+y)2-2·(x+y)·2(x-y)+[2(x-y)]2
=[(x+y)-2(x-y)]2
=(x-3y)2。
3.因式分解:
(1)m3n-4m2n2+4mn3=　 ;
(2)-3ax2+6axy-3ay2=　 ;
(3)(a2+9)2-36a2=　 ;
(4)3a4-6a2+3=　 。

4.已知x2+y2-6x+4y+13=0,则yx的值为　 　。
mn(m-2n)2　
-3a(x-y)2　
(a+3)2(a-3)2　
3(a+1)2(a-1)2　
-8

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