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(共56张PPT)
第1课时　分式的乘除法
2　分式的运算
1.分式的乘法法则
两个分式相乘,把分子相乘的　 　作为积的分子,把分母相乘的　　作为积的分母,即·=。
2.分式的除法法则
两个分式相除,把除式的分子和分母　 后再与被除式相乘,即÷=·=。
注:(1)分式乘除法的计算结果要化为最简分式或整式;
(2)分式的乘除运算与分数的乘除运算一样,先转化除法为乘法,再确定积的符号;
(3)当分式的分子或分母是多项式时,应先进行因式分解。
积
积
颠倒位置　
3.分式的乘方法则
分式的乘方要把分式的分子、分母分别　 　。
即 。
注:(1)分式乘方时,首先要确定乘方结果的　 　 ,负数的偶次方为　 　,负数的奇次方为　 　;
(2)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算　 　,再算　 　,有多项式时,应先分解因式,再约分。
乘方
=(n为正整数)　
符号
正
负
乘方
乘除
计算:(1)·;
解:原式=。
(2)·(-4xy2);
解:原式=-·4xy2=-。
(3)·。
解:原式=·=。
[方法归纳] 分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母因式分解,看能否约分,再相乘。当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变。
1.计算(-a)2·的结果为(　　)
A.b B.-b C.ab D.
2.计算:
(1)·= ;
(2)·= 。
A
　
　
计算:
(1)÷;
解:原式=·
=-。
(2)÷;
解:原式=·
=·
=-。
(3)÷(x+3)·。
解:原式=··
=·=·
=-。
[思维点拨] 当被除式和除式都是分式时,应先确定符号,再按“变除为乘,除式颠倒”的法则计算;当分子、分母是多项式时,一般先因式分解,并在运算过程中约分,可以使运算简化,避免走弯路。
3.下列各式计算错误的是(　　)
A.·=- B.÷=
C.÷(a2-ab)= D.(-a)3÷=b
D
4.计算:
(1)÷;
解:原式=·
=a-1。
(2)÷·。
解:原式=··
=。
计算:
(1);
(2)。
解:原式=。
解:原式=-。
5.下列等式正确的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
A
6.计算:
(1)= 　;
(2)= ;
(3)÷=　 　;
(4)·÷=　 　。
　
-
-
(1)先化简,再求值:÷,其中x=-;
解:原式=·
=-=-。
当x=-时,原式=-=。
(2)先将÷(m+1)·化简,再选取一个你认为合适的m的值代入求值。
解:原式=··=。
当m=6时,原式==。
(答案不唯一,注意m≠±1和-2)
7.先化简,再求值:
(1)÷,其中x=3;
解:原式=·=。
当x=3时,原式=。
(2)·÷,其中a满足a2-a=0。
解:原式=··(a+1)(a-1)
=(a+1)(a-2)
=a2-a-2。
当a2-a=0时,
原式=0-2=-2。
第2课时　分式的加减法(一)
同分母分式的加减法法则
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用式子表示为±= 。
注:(1)把“分子相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减,即各个分子都应有括号。当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不能省略。当两个分式的分母互为相反数时,可变形为同分母分式;
(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
　
计算:
(1)+;
解:原式=
=
=m-1。
(2)+;
解:原式=-
=
=1。
(3)-+;
解:原式=
=
=
=a+1。
(4)-+;
解:原式=-+
=
==。
(5)÷(a+1)-。
解:原式=-
=-==-1。
1.化简+的结果是(　　)
A.m+n B.n-m C.m-n D.-m-n
2.计算:
(1)-;
解:原式=。
(2)+-;
解:原式=2。
(3)+。
解:原式=1。
A
先化简,再求值:·+,其中x=1,y=2。
解:原式=·+
=+=。
当x=1,y=2时,
原式==-3。
3.若a,b互为倒数,且a≠b,则-的值为(　　)
A.0 B.-1 C.-2 D.1
4.先化简,再求值:÷,其中x=-2。
解:原式=÷
=(x+2)·=。
当x=-2时,
原式==1-。
D
第3课时　分式的加减法(二)
1.最简公分母
各分式分母的所有因式的　 　次幂的积叫最简公分母。
2.通分
根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分。
3.异分母分式的加减法法则
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
上述法则用式子表示为:
±= 　= 。
最高
±
　
注:(1)异分母分式加减法中,先确定最简公分母再通分。
(2)确定最简公分母的方法:①系数取最小公倍数;②字母取所有字母;③取所有字母的最高次幂。为了确定最简公分母,通常先将各分母分解因式。
(3)若加减运算中有整式,应视其分母为1进行通分。
通分:
(1),;
解:最简公分母为a2b2,
∴==,==。
(2)-,,-;
解:最简公分母为24x3y3z2,
∴-=-=-,
==,
-=-=-。
(3),;
解:最简公分母为x(x-y)(x+y),即x3-xy2,
∴==,==。
(4),。
解:最简公分母为3x(x-2)2,
∴==,==。
1.分式,,-的最简公分母是(　　)
A.(x2-x)(x+1) B.(x2-1)(x+1)2
C.x(x-1)(x+1)2 D.x(x+1)2
C
2.将下列各式通分:
(1)和-;　　 (2)和。
解:(1)最简公分母为6a2b2c。
∴==,
-=-=-。
(2)最简公分母为(3m+1)(3m-1),即9m2-1。
∴==。
计算:(1)+;
解:原式=+=。
(2)+;
解:原式=+
==。
(3)-x2+2;
解:原式=-+
==。
(4)--1。
解:原式=
==。
3.计算+的结果是(　　)
A. B. C. D.
4.计算:
(1)+;
(2)-;
C
解:原式=。
解:原式=。
(3)+;
(4)--。
解:原式=
解:原式=。
材料:已知x+=3,求分式的值。
解:∵x+=3,∴x≠0,
∴=x-4+=x+-4=3-4=-1,
∴===-1。
根据材料,解答下面的问题:
(1)已知a+=3,则分式的值为 ,分式的值为 ;
　
　
(2)已知x+=,求分式的值。
解:(2)∵x+=,
∴x+2≠0,
∴===x++1=+1=,
∴===。
5.已知a+=2,则a2-1+等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2025·成都外语校)已知实数x,y满足+=2,则=　 　。
7.已知a2+3ab+b2=0(ab≠0),则+=　 。
A
-
-3　
第4课时　分式的加减法(三)
分式的加减乘除混合运算
与整式的加减乘除混合运算一样,也是先算　 　,再算　 　,后算　 　,有括号时,先算括号里面的。
注:(1)在进行分式的混合运算的时候,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按照从左到右的顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算大括号里面的;
(2)有理数的运算顺序及运算律对分式同样适用;
(3)分式运算与分数运算一样,结果必须达到最简,保证最终的结果为最简分式或整式;
(4)分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前面。
乘方
乘除
加减
计算:(1)·-÷;
解:原式=·-·
=-
=-。
(2)m-4+÷;
解:原式=m-4+·=
=。
(3)(2025·重庆巴蜀)÷;
解:原式=·=·
=。
(4)·;
解:原式=·=·
=-2a-6。
(5)(2025·重庆一中)÷。
解:原式=÷
=÷=·
==。
1.计算:
(1)-÷;
解:原式=-·
=-=
=。
(2)÷;
解:原式=÷
=·
=
=。
(3)÷;
解:原式=·
=·
=-x(x+1)
=-x2-x。
(4)·。
解:原式=·
=·
=。
先化简,再求值:
(1)(2025·重庆八中)÷,其中x=2;
解:原式=·
=·=。
当x=2时,原式==。
(2)÷,其中a为负整数且满足不等式3-a≤2(a+6);
解:原式=÷=·
=·=。
解不等式3-a≤2(a+6),得a≥-3。
∵a为负整数,∴a=-3,-2,-1。
又∵a≠-3,-2,
∴当a=-1时,原式==2。
(3)÷,其中x满足x2-2x-2=0。
解:原式=÷=·
=。
∵x满足x2-2x-2=0,
∴x2=2x+2=2(x+1),
则原式==。
3.当m=2 026时,(m+1)=　 。
4.(2025·重庆西附)先化简,再求值:÷+,其中a=-1。
解:原式=·+
=+
=。
∵a=-1,
∴原式===-1。
2 026　
五一黄金周,某中学组织一批学生去歌乐山旅行。已知该中学到歌乐山的距离是s km,旅游车从学校按v km/h的速度行驶,可按规定时间到达歌乐山,为了让同学们到山顶看日出,旅游车每小时需多行驶a km,问同学们可提前多长时间到达
解:-=-=,
故同学们可提前 h到达。
5.甲、乙两旅客从某火车上下来,沿着一个方向到同一个地方,甲一半的路程以速度a行走,另一半的路程以速度b行走;乙一半的时间以速度a行走,另一半的时间以速度b行走,问哪个旅客先到达目的地 (速度单位相同,且速度a≠速度b)
解:设总路程为单位1,甲到达目的地所用的时间为t1,乙到达目的地所用的时间为t2。
由题意,可得t1=+=。a+b=1,则t2=。
∴t1-t2=-==。
∵速度a≠速度b,∴t1-t2>0,即t1>t2。
∴乙旅客先到达目的地。(共25张PPT)
1　分式及其基本性质
1　分式及其基本性质
第1课时
1.分式的概念
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式。如果　 　中含有字母,且B≠0,那么称为分式。其中A称为分式的分子,B称为分式的分母。
注:掌握分式要注意以下几点:
①分式是一个商式,分子是被除式,分母是除式;
②分式的分数线有除号和括号的作用,如应该表示为(c+d)÷(a-b);
③分式的分母中必须含有字母,分子中可以含有字母,也可以不含字母。
B
2.分式有无意义,分式的值为零的条件
(1)分式有意义的条件:分母不等于零,即 时,分式有意义;
(2)分式无意义的条件:分母等于零,即　 　时,分式无意义;
(3)分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零,即　 　,分式的值为零;
*(4)分式的值为正数(或负数)的条件:
或;
*(5)分式的值为整数的条件:分子是分母的整数倍(有时需要分离常数)。
B≠0
B=0
A=0且B≠0
下列各式中,哪些是整式 哪些是分式
,,,,,-,3a。
解:整式:,,,3a;
分式:, ,-。
[知识总结] (1)分式的分母一定含有字母,分子可以含有字母,也可以不含字母;(2)整式中可以有分母,也可以没有分母,但分母中不含字母。特别注意,π是一个数。
1.(2025·重庆巴蜀)下列各式中,是分式的是(　　)
A. B. C. D.
2.在代数式,,+,,中,分式有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
B
(1)已知分式。
①当x取什么值时,分式有意义;何值时分式无意义
②当x取什么值时,分式的值为零
③分别计算当x=-1,1时分式的值。
解:(1)①当x-2≠0,即x≠2时,分式有意义。
当x-2=0,即x=2时,分式无意义。
②当x2-4=0,且x-2≠0,
即x=-2时,分式的值为零。
③当x=-1时,=1;当x=1时,=3。
(2)已知分式。
①当分式的值为负数时,求x的取值范围;
②当分式的值为正整数时,求整数x的值。
(2)①当4-x<0,即x>4时,分式的值为负数。
②当4-x=1或2或4或8,即x=3或2或0或-4时,分式的值为正整数。
3.(2025·重庆南开)已知分式M满足下列表格中的信息:
x的取值 0 1 2 3
分式的值 … 无意义 0 …
则分式M有可能是(　　)
A. B. C. D.
4.当x的值为　 　时,分式的值为零。
5.当　 　时,分式的值为正数;当　 　时,分式的值为负数;当整数x=　 　时,分式的值为负整数。
C
-4
x<8
4-2或-3或-4或-7
(1)学校的运动会上,一份奖品是两支铅笔和三个笔记本,如果买两支铅笔需要a元,三个笔记本需要b元,那么100元可以买这样的奖品多少份
(2)军训期间,小华打靶的成绩是m发9环和n发7环,小华的平均成绩是每发多少环
解:(1)。　
(2)。
6.王老师骑自行车用了m h到达距离家n km的学校,则王老师的平均速度是 km/h;若乘公共汽车可少用0.2 h,则公共汽车的平均速度是 km/h。
　
　
1　分式及其基本性质
第2课时　
1.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个　 的整式,分式的值　 　。用式子表示为:=,=(m≠0)。
注:(1)利用分式的基本性质可以对分式进行“等值”变形;
(2)利用分式的基本性质可以对分式中的相关符号进行化简:
①==-;②-=-==;
③-=-。
不等于零　
不变
2.约分与最简分式
根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的　 　 约去,叫作分式的约分。分子和分母没有　 　 的分式,叫作最简分式。
注:(1)分式约分的目的是把分式化为最简分式或整式,要注意分子、分母是多项式时一定要看能否分解因式,能分解的转化为整式乘积的形式,这样才可以确定公因式。
(2)确定公因式的方法:①找分子、分母的系数的最大公约数;②找分子、分母中相同字母或因式(多项式时能分解因式的一定要分解因式);③相同字母或因式取最低次幂。此外在约分的过程中还要注意对分子、分母的符号进行处理。
公因式
公因式
填空:
(1)=,=;
(2)=,=(a+b≠0);
(3)3x-2=;
(4)=。
不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
(1); (2)。
解:(1)原式=。
[方法归纳] 解答有关分式恒等变形的问题时,一般从分子或分母的已知项入手,观察变形分式,再对未知项作相应的变形。注意若原分式的分子(或分母)是多项式,恒等变形时,要先把分式的分子(或分母)添上括号,再乘(或除以)相应的整式,不要把分子(或分母)首项的符号当作整体的符号。
(2)原式=。
1.下列各式从左到右的变形,一定正确的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
2.(2025·重庆一中)若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是(　　)
A. B. C. D.
C
C
3.不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数。
(1); (2)。
解:(1)分式的分子与分母同时乘6,得
原式==。
(2)分式的分子与分母同时乘10,得
原式=。
不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号。
(1); (2); (3); (4)-。
解:(1)=-。
[总结升华] 一般地,在分式运算的最后结果中,习惯于只保留一个负号,写在分式的前面。
(2)=。
(3)=-。
(4)-=。
4.下列各式中,正确的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
5.不改变分式的值,使分子与分母的首项系数均为正,则下列式子变形正确的是(　　)
A.= B.=-
C.=- D.=-
A
C
化简下列各式:
(1);
解:原式=-=-。
(2);
解:原式===。
(3);
解:原式==-。
(4)。
解:原式==
=。
6.(2025·重庆八中)下列分式中,是最简分式的是(　　)
A. B. C. D.
7.化简:(1)= ;
(2)= ;
(3)= 　;
(4)= 　。
B
　
　
(1)先化简,再求值:,其中x=2,y=3;
解:原式= =。
当x=2,y=3时,
原式==-。
(2)已知分式的值是负整数,求整数a的值。
解:==。
由分式的值是负整数,a为整数,可知a-2是4的负约数,
∴a-2=-1或-2或-4。
当a-2=-1时,a=1;
当a-2=-2时,a=0;
当a-2=-4时,a=-2。
∵要使分式有意义,∴a2-4≠0,即a≠±2。∴a的值为1或0。
8.已知x为整数,且分式的值为整数,则满足条件的x的值有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.先化简,再求值:,其中a=3,b=1。
解:原式===。
当a=3,b=1时,
原式==。
C(共43张PPT)
3　分式方程
第1课时　列分式方程
分式方程的定义
　 　中含有未知数的方程叫作分式方程。
分母
下列关于x的方程中,是分式方程的是(　　)
A.=1 B.=
C.+=1 D.=-7
A
1.在下列关于x的方程中,分式方程有(　　)
①x2-x+4=0;②=4;③=5;
④=1;⑤=6;⑥=x+7。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
(1)(2025·无锡)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行,小亮的速度是小红速度的1.2倍,两人各自骑行了6 km,小亮骑行时间比小红少用了4 min。设小红的骑行速度为x km/h,则可列方程为(　　)
A.+= B.+4=
C.-= D.-4=
A
(2)(2025·成都外语校)施工队要铺设一段全长2 000米的管道,因在中考期间需停工两天,实际每天施工需比原计划多50米,才能按时完成任务,求原计划每天施工多少米。设原计划每天施工x米,则根据题意所列方程正确的是(　　)
A.-=2 B.-=2
C.-=2 D.-=2
A
2.(2025·成都树德)某车间加工1 300个零件后,采用了新工艺,工效提升了30%,这样加工同样多的零件就少用10小时。若设采用新工艺前每小时加工x个零件,则可列方程为(　　)
A.-=10
B.-=10
C.-=10
D.-=10
B
3.为美化校园,某校安排甲、乙两人种植花苗,已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍,…,求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗。设甲每小时种植x棵花苗,则可得方程=,根据此情景,题中用“…”表示的缺失的条件应为　 。
两人每小时共种植7棵花苗　
第2课时　解分式方程
1.解分式方程的一般步骤
(1)方程两边都乘　 ,约去分母,化分式方程为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)检验:把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解就是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
2.分式方程的增根
解分式方程时,使原分式方程的分母(或最简公分母)为零的未知数的值叫作原分式方程的增根。
最简公分母　
例如:在解方程=-2时,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零。产生增根的原因是我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式。
注:(1)找最简公分母前,各个分母先因式分解;(2)由分式方程得到的解必须检验。
解方程:
(1)(2025·重庆南开)+1=;
解:方程两边都乘(x-3),得
x+x-3=1。
解这个方程,得x=2。
检验:当x=2时,x-3≠0,
所以,x=2是原分式方程的根。
(2)=1+;
解:方程两边都乘2(x-4),得
1=2(x-4)-2(2x-3)。
解这个方程,得x=-。
检验:当x=-时,2(x-4)≠0,
所以,x=-是原分式方程的根。
(3)-1=;
解:方程两边都乘x(x-2),得x2-x(x-2)=4。
解这个方程,得x=2。
检验:当x=2时,x=0,
所以,x=2是原方程的增根,故原分式方程无解。
(4)=-。
解:方程两边都乘(x-1)2(x+1)2,得
3(x+1)2=2(x-1)2+(x-1)(x+1)。
解这个方程,得x=-。
检验:当x=-时,(x-1)2(x+1)2≠0,
所以,x=-是原分式方程的根。
1.(2025·湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为(　　)
A.x+1=2x B.x+2=1
C.1=2x D.x=2(x+1)
A
2.解方程:
(1)(2025·西藏)=;
解:方程两边都乘(x+1)(x-1),得
2(x-1)=3(x+1)。
解这个方程,得x=-5。
检验:当x=-5时,(x+1)(x-1)≠0,
所以,x=-5是原分式方程的根。
(2)+=;
解:方程两边都乘(2x+6),得4+3(x+3)=7。
解这个方程,得x=-2。
检验:当x=-2时,2x+6≠0,
所以,x=-2是原分式方程的根。
(3)=+1;
解:方程两边都乘(x-1)(x+2),得
x(x-1)=2(x+2)+(x-1)(x+2)。
解这个方程,得x=-。
检验:当x=-时,(x-1)(x+2)≠0,
所以,x=-是原分式方程的根。
(4)+=。
解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得
2(x+2)+6x=3(x-2)。
解这个方程,得x=-2。
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0,
所以,x=-2是原方程的增根,故原分式方程无解。
(1)(2025·成都树德)若关于x的分式方程-=2有增根,则增根为(　　)
A.3 B.-3 C.-1 D.0
(2)若关于x的方程=无解,则m的值为(　　)
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
A
D
(3)若关于x的分式方程2-=的解为正数,则k的取值范围为(　　)
A.k<2 B.k<2且k≠0
C.k>-1 D.k>-1且k≠0
[知识拓展] 分式方程有增根与无解的区别:分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数,还包括分式方程化为整式方程后使整式方程无解的数。
B
3.若关于x的分式方程+5=有增根,则m的值为(　　)
A.1 B.3 C.4 D.5
4.(2025·遂宁)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为　 　。
5.(2025·成都外语校)已知关于x的分式方程=1的解为负数,则字母a的取值范围是　 。
6.若关于x的分式方程+=2有整数解,则整数m的值的和为　　。
C
-1或3
a<-且a≠-　
7
第3课时　利用分式方程解应用题
1.利用分式方程解决实际问题的步骤
(1)审清题意;(2)设适当的未知数;(3)根据题意或相等关系,列出分式方程;(4)解方程并且检验根的正确性和合理性;(5)作答。
2.工程问题
(1)基本关系:工作总量=工作时间×工作效率。
(2)根据题意填空。
两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快
表格法分析如下:
设乙队单独完成这项工程需要x个月,工作总量为“1”。
工作时间(月) 工作效率 工作总量(“1”)
甲队
乙队
根据等量关系:甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”,可
列出方程 。
根据等量关系:甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”,则合作的工作效率是 ,根据等量关系可列出方程
。
×+·=1或+=1　
+　
×1+×=1　
3.行程问题
(1)基本关系:路程=速度×时间。
(2)根据题意填空。
某次列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少 (这里的字母v,s表示已知数据)
设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用时间为 　h,提速后列车的平均速度为　 　km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时
间为 h。根据行驶时间的等量关系可以列出方程 　。
(x+v)
　
=
4.销售问题
(1)基本关系:总价=单价×数量。
(2)根据题意填空。
某商店准备购进甲、乙两种商品,甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元,用2 000元购进甲种商品和用1 200元购进的乙种商品的数量相同。求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元。
设甲种商品每件的进价是x元,则乙种商品每件的进价是　 元。根据等量关系:购进的甲种商品的数量=购进的乙种商品的数量,可列出
方程 。
若设甲种商品购进y件,则乙种商品购进　 　件。根据等量关系:甲种商
品的进价=　 ,可列出方程 。
(x-20)　
=　
y
乙种商品的进价+20元　
=+20　
某工程队修建一条长1 200米的道路,如果采用新的施工方式,工效提升50%,结果能提前4天完成任务。
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米;
解:(1)设原计划每天修建道路x米。根据题意,得
=+4,解得x=100。
经检验,x=100是原方程的解,且符合题意。
答:这个工程队原计划每天修建道路100米。
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么平均每天修建道路的工效应比原计划增加百分之几
(2)设平均每天修建道路的工效比原计划增加y%。
根据题意,得
=+2,解得y=20。
经检验,y=20是原方程的解,且符合题意。
答:平均每天修建道路的工效应比原计划增加20%。
1.某服装厂接到一学校的订单,生产一段时间后,还剩880套校服未生产,厂家因更换设备(所用时间忽略不计),生产效率比更换设备前提高了20%,结果刚好提前5天完成订单任务。设该厂家更换设备前每天生产x套校服,则可列方程为(　　)
A.=+5 B.=+5
C.=-5 D.=+5
D
2.随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人。甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人
解:设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人,
根据题意,得=×1.2,解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,
∴35-x=35-20=15。
答:甲组有20名工人,乙组有15名工人。
(2025·重庆南开)如图,某货轮往返于长江的A,B两港之间,已知A,B相距2 000千米。
(1)若水流速度为每小时5千米,这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的,求该货轮在静水中的速度;
解:(1)设货轮在静水中的速度为x千米/时,
由题意,得=×解得x=25,
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意。
答:货轮在静水中的速度为25千米/时。
(2)若港口C到A,B两港的距离相等,货轮在静水中的速度为每小时v千米,AC段河流水速为每小时a千米,BC段因受降水影响,水速变为每小时b千米。设货轮在AC段的逆水航行时间为t1,在BC段的逆水航行时间为t2,请判断与的大小关系,通过计算说明理由。
(2)∵t1=,t2=,
∴=。
∴-=-==。
又∵a∴v-a>0,b-a>0,v>2b>a+b,∴v-a-b>0,∴->0,∴>。
3.甲、乙两人骑自行车,从相距60千米的A,B两地同时出发,相向而行,甲从A地出发至2千米时,想起有东西忘在A地,于是返回去取,又立即从A地向B地行进,甲、乙两人恰好在AB的中点相遇。已知甲的速度比乙的速度快2.5千米/时,求甲、乙两人的速度。设乙的速度是x千米/时,则
所列方程是 。
=　
4.在一次军事演习中,某军队接到上级指令执行登岛计划,接到指令时,该军队的舰艇A距离该小岛40千米,舰艇B距离该小岛60千米,于是舰艇B加速前进,速度是舰艇A的2倍,结果舰艇B比舰艇A提前10分钟到达,顺利完成了登岛任务。
(1)求舰艇A,B的速度;
解:(1)设舰艇A的速度为x千米/时,则舰艇B的速度为2x千米/时,
根据题意,得-=,解得x=60,
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意。
∴2x=120。
答:舰艇A的速度为60千米/时,舰艇B的速度为120千米/时。
(2)根据情况,每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航,巡航需持续一个月(30天),已知舰艇A,B的巡航费用分别为50万元/天,40万元/天。
①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式;
(2)①根据题意,得W=50a+40=10a+1 200,
∴总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式为W=10a+1 200。
②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A巡航天数的2倍,要使巡航总费用最少,舰艇A应巡航多少天
②由题意,得30-a≤2a,解得a≥10。
在W=10a+1 200中,
∵10>0,∴W随a的增大而增大,
∴当a=10时,W最小,最小值为1 300。
答:舰艇A应巡航10天。
(2025·成都树德)农历五月初五是中国民间传统端午节,某蛋糕店一直销售的是白水粽,端午节临近又推出了红豆粽。店内有甲、乙两种礼品,经调查发现,用8 800元购进的甲礼品的数量是用4 000元购进的乙礼品数量的2倍,且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元。
(1)求甲、乙两种礼品的进价分别是多少元;
解:(1)设乙礼品的进价是x元,则甲礼品的进价为(x+4)元,根据题意,得
=2×,
解得x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意。
x+4=44。
答:甲、乙两种礼品的进价分别是44元、40元。
(2)为满足消费者需求,该蛋糕店准备再次购进甲、乙两种礼品共200个,甲礼品的售价为70元,乙礼品的售价为60元,若总利润不低于4 120元,则最少购进多少个甲礼品
(2)设购进甲礼品a个,则购进乙礼品(200-a)个,
根据题意,得
(70-44)×a+(60-40)×(200-a)≥4 120,
解得a≥20。
答:最少购进20个甲礼品。
5.端午节当天,“味美早餐店”的粽子9折出售,小红的妈妈去该店买粽子花了54元,比平时多买了3个,求平时每个粽子卖多少元。设平时每个粽子
卖x元,根据题意可列方程为 　。
+3=
6.为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代。
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策。根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴。这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴。该企业甲、乙两类生产线各有多少条
解:(1)设该企业有x条甲类生产线,y条乙类生产线,
根据题意,得解得
答:该企业有10条甲类生产线,20条乙类生产线。
(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备
(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元,则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元,
根据题意,得=,解得m=45,
经检验,m=45是原方程的解,且符合题意,∴m+5=50,
∴还需投入的资金为10×50+20×45-70=1 330(万元)。
答:还需投入1 330万元资金更新生产线的设备。

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