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黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考2025-2026学年下学期九年级数学第一次模拟卷
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图图形中不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段长为半径画弧，与相交于点M；⑤连接并延长，与边相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
10．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
①：
②对于任意实数，都有；
③；
④若，且；则．
⑤若为方程的两个根，则．
其中正确结论的个数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．相关报告显示，2025年中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为________．
12．若关于x的分式方程无解，则a的值为__________．
13．将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________．
15．在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ．
16．如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为______．
三、解答题
17．计算或因式分解
(1)计算：
(2)因式分解：；
18．解方程：．
19．解不等式组：
20．4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次抽样共调查了________名学生，m的值为________；
(2)补全条形统计图；
(3)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
21． 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
22．一辆快车从甲地驶往乙地，到达乙地后立刻返回甲地，同时一辆慢车从乙地驶往甲地，到达甲地后停止行驶，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米．设行驶时间为x(单位：小时)，两车之间的距离为y(单位：千米)，y与x之间的函数关系如图，
根据图象解答下列问题：
(1)直接写出快、慢两车的速度；
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中y与x的函数解析式；
(3)直接写出何时两车相距70千米．
23．综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
24．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果）
参考答案及解析
1．答案：B
解析：解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是改变原数符号后得到的．
2．B
解析：解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．B
解析：A、，计算错误，该选项不符合题意；
B、，计算正确，该选项符合题意；
C、，计算错误，该选项不符合题意；
D、，计算错误，该选项不符合题意．
故选：B
4．C
解析：解：∵，
∴，
∴．
5．B
解析：解：观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形，
故当移走甲，丙，丁后，主视图不变，移走乙后，主视图的第2列变为1个小正方形，主视图发生变化.
6．D
解析：解：列表可得：
氢 氦 锂 铍
氢 （氢，氦） （氢，锂） （氢，铍）
氦 （氦，氢） （氦，锂） （氦，铍）
锂 （锂，氢） （锂，氦） （锂，铍）
铍 （铍，氢） （铍，氦） （铍，锂）
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种，
故这两种元素恰好都是金属元素的概率为．
7．B
解析：解：根据作图步骤可知平分，，
∴．
∵分别是的外角，
∴，
∴，则B正确；
不能确定的数量关系，不能确定的位置关系，不能确定的数量关系，所以A，C，D不正确．
8．B
解析：解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B．
9．A
解析：解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或或，
共有5种购买方案．
故选：A．
10．C
解析：解：∵抛物线开口向下，
，
又 ∵抛物线与轴交于正半轴，
，
又 ∵对称轴是直线，
，
∴，故①正确．
由题意，当时，取最大值为，
∴对于任意实数，都有．
∴，故②错误．
∵抛物线与轴交于点，
∴．
又 ∵，
，
∴，故③正确．
设在二次函数上，
，
∴关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
∴，故④正确，
由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与轴交于点，
∴抛物线与轴的另一交点为．
∴抛物线为．
∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标．
∵在轴上方，
∴若为方程的两个根，则，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
11．
解析：解：数据82.39亿用科学记数法表示为．
12．或
解析：解：去分母得：，
整理得：，
由分式方程无解，得到或，
解得：或，
故答案为：或．
13．
解析：设展开后扇形的弧长为，已知圆锥母线长，扇形面积，
根据扇形面积公式，代入得：
，
解得．
扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则
，
解得．
圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为：
．
14．
解析：解：延长交轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，，
∴，
∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限，
∴，
∴；
故答案为：．
15．或
解析：①当点在上时，如图：
∵是边上的高，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
②当点在的延长线上时，如图：
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴．
∴，
∴．
故答案为：或．
16．
解析：解：观察点的横坐标：的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，可发现横坐标依次增加，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以，
观察纵坐标，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，可发现纵坐标以，，，这个数为一个循环，
∵是偶数，
故点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标为，
故点的坐标为．
17．(1)0
(2)
解析：（1）解：
；
（2）解：.
18．，
解析：解：
或
解得，．
19．
解析：解：
解①得，
解②得，
∴原不等式组的解集为．
20．(1)50；30
(2)见解析
(3)600名
解析：（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴．
（2）解∶补图如下∶
（3）解：（名）
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名．
21．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴由勾股定理，得，
由（）知，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，，
∴．
22．(1)快车的速度为80千米/时，慢车的速度为60千米/时；
(2)；
(3)当x的值为或或小时时，两车相距70千米．
解析：（1）解：由图可知：点（2，0）表示的意义是快车与慢车相向而行，经过2小时相遇，
∵两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，
∴快车比慢车2小时多行驶40千米，
∴快车比慢车1小时多行驶20千米，
设快车、慢车从出发到相遇y与x对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
把（，210），（2，0）两点的坐标分别代入到y=kx+b（k≠0）中，
得，解得：，
∴快车、慢车从出发到相遇对应的函数关系式为y=-140x+280，
令x=0，得y=280，
∴甲、乙两地相距280千米，
设慢车的速度为a千米/时，则快车的速度为（a+20）千米/时，
∵快车与慢车相向而行，经过2小时相遇，
∴2a+2（a+20）=280，
解得a=60，
∴a+20=60+20=80，
∴快车的速度为80千米/时，慢车的速度为60千米/时；
（2）解：由图象知，C（3.5，210），即C（，210），
∵280÷60=，
∴D的横坐标为，
∵D的纵坐标表示的意义是慢车到达甲地时，两车之间的距离，
此时，慢车到达甲地，快车从乙地返回甲地的过程中，
快车与甲地的距离为：280×2-80×=（千米），
∴此时y=，
∴D（，），
∵280×2÷80=7（小时），
∴E（7，0），
当≤x＜时，设线段CD对应的函数解析式为y=k1x+b1（k1≠0），
∴，解得，
∴y=-20x+280；
当≤x≤7时，设线段DE对应的函数解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
∴，解得，
∴y=-80x+560；
综上所述，快车从乙地返回甲地的过程中y与x的函数解析式为；
（3）解：设快车、慢车相遇后到快车到达乙地的过程中y与x对应的函数关系式为y=k3x+b3（k3≠0），
把B（2，0），C（，210），两点的坐标代入解析式中，
得，解得，
∴y=140x-280（2≤x≤），
由（1）可知：y=-140x+280（0≤x≤2），
把y=70代入到y=-140x+280（0≤x≤2）中，
得70=-140x+280（0≤x≤2），
解得x=；
把y=70代入到y=140x-280（2≤x≤）中得：
70=140x-280（2≤x≤），
解得：x=；
把y=70代入到y=-20x+280（≤x≤）中得：70=-20x+280（≤x≤），
解得：x=，不合题意，舍去；
把y=70代入到y=-80x+560（≤x≤7）中得：70=-80x+560，
解得：x=．
综上所述，当x的值为或或小时时，两车相距70千米．
23．（1）见解析；（2）；（3）①，②．
解析：（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）①∵，，
∴设，则，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②设，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
24．(1)
(2)，当时，有最大值
(3)存在，点坐标为或
(4)或
解析：（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
∵点的坐标为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
（3）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，
设，
∴，，，
当时，，解得（舍）或；
∴，
当时，，解得或（舍）；
∴，
当时，，解得（舍）；
综上所述：点坐标为或．
（4）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴或，
故答案为：或．

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